La prueba de que aleph null es el más pequeño número transfinito?

Question

La página de la wikipedia sobre los números cardinales dice que $\aleph_0$, la cardinalidad del conjunto de los números naturales es el menor número transfinito. No dar una prueba. Del mismo modo, esta página hace la misma afirmación, de nuevo sin una prueba.

¿Cómo hace uno para probar que no existe menor número transfinito? Equivalentemente, (creo), ¿por qué no hay más pequeños conjunto infinito de los números naturales?

Answer 1

Esto es una consecuencia del siguiente teorema:

Supongamos que $A$ es un conjunto de números enteros, entonces cualquiera de las $A$ es finito, o $|A|=|\Bbb N|$.

Ya que definimos $\aleph_0$ a ser la cardinalidad de a $\Bbb N$, esto significa que cada subconjunto infinito de un conjunto de tamaño $\aleph_0$ es de tamaño $\aleph_0$, y así no puede haber un pequeño infinito cardenal.

Tenga en cuenta que el anterior demuestra que $\aleph_0$ es el mínimo elemento de la infinita cardenales. No es menor. Para demostrar que es de hecho el más pequeño de la infinita cardenales tenemos que usar algún otro conjunto de supuestos teóricos (por ejemplo, cada dos cardenales son comparables) que son comúnmente asumidos a lo largo de las matemáticas hoy en día.

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La prueba de que el mencionado teorema es simple, por el camino. Supongamos que $A$ es infinito, entonces el mapa de $a\mapsto |\{a'\in A\mid a'<a\}|$ es un bijection entre el$A$$\Bbb N$. La prueba de eso es por inducción.

Answer 2

Una propiedad de los cardenales dice que si hay una inyección de $f:A \to B$, entonces la cardinalidad de a $A$ es menor o igual a la cardinalidad de a $B$. Si $B$ es infinito, entonces usted puede elegir cualquier $b_1 \in B$ y definen $f(1) = b_1$, y a continuación elegir diferentes $b_2 \in B$, de modo que $f(2) = b_2$, y así sucesivamente, y usted recibirá una inyección de $f:{\mathbb N} \to B$ si $B$ es infinito (porque por cada $n$, usted tiene infinidad de opciones a la izquierda en $B$$f(n)$). Por lo $|B| \geq |{\mathbb N}|$ si $B$ es infinito, por lo tanto $| \mathbb{N}|$ es el más pequeño infinito cardenal.

Answer 3

Esto realmente depende de las definiciones. No es raro que para definir "finito" para significar "una cardinalidad estrictamente menor que el de $\mathbb N$", en cuyo caso lo que estás buscando es justamente lo que la definición dice y no permite ninguna otra prueba.

Si usted quiere más que eso (y lo que quiere en realidad es una prueba definitiva de axiomas y definiciones, en lugar de sólo una informal argumento de que, probablemente, unos a la derecha), entonces usted necesita para comenzar por la elección de una determinada definición diferente de "finito" para probar cosas acerca de.

Answer 4

$\Bbb N$ es la unión de todos los ordinales finitos $[n]:=\{0,1,2,\dots,n-1\}$.

Por lo tanto, si un conjunto $A$ no es finito, entonces cada una de las $[n]$ incrusta en ella. En particular, podemos definir incrustaciones $f_n:[n]\hookrightarrow A$ en la parte superior de uno al otro, es decir, la satisfacción de $f_n(k)=f_{n-1}(k)$ todos los $k<n-1$. Pero que en conjunto (teniendo en cuenta los $\bigcup_nf_n$) da una incrustación de $\Bbb N$ a $A$, por lo que el $\aleph_0\le |A|$.

Answer 5

Bien un conjunto $M$ es infinito si para cada subconjunto finito $U \subsetneq M$ existe un $x \in M, x\notin U$. En consecuencia, usted será capaz de construir una secuencia $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} $ de los distintos elementos en $M$. Por lo tanto, $|M| \ge \aleph_0 $