El lema Zig Zag en cohomología

Question

Estoy leyendo el lema Zig Zag en Cohomología y quiero demostrar la exactitud de la secuencia de cohomología en $H^k(A)$ y $H^k(B)$ :

Una breve secuencia exacta de complejos de cochainas $0 \to A \ \xrightarrow{i} \ B \ \xrightarrow{j} \ C \to 0$ da lugar a una larga secuencia exacta en cohomología:

$... \ \xrightarrow{j^*} \ H^{k-1}(C) \ \xrightarrow{d^*} \ H^k(A) \ \xrightarrow{i^*} H^k(B) \ \xrightarrow{j^*} H^k(C) \ \xrightarrow{d^*} H^{k+1}(A) \ \xrightarrow{i^*} ...$

donde $i^$ y $j^$ son los mapas en cohomología inducidos a partir de los mapas de cochainas i y j,y $d^$ es el homomorfismo de conexión.

Creo que primero tengo que probar que $im(d^) = ker(i^)$ para la exactitud en $H^k(A)$ . Ayuda por favor ..

Demuestro la exactitud de $H^k(C)$ :

Primero pruebo que $im( j^*)\subseteq ker (d^*)$ . Sea $[b]\in H^k(B)$ entonces $d^* j^* [b] = d^*[j(b)]$ . En la receta anterior de $d^*$ podemos elegir el elemento en $B^k$ que se asigna a $j(b)$ sea b. Entonces $db \in B^{k+1}$ . Porque b es un cociclo, $db=0$ . Siguiendo el diagrama Zig-Zag vemos que como $i(0) = 0 = db$ Debemos tener $d^*[j(b)] = [0]$ Así que $j^*[b]\in ker(d^*)$ .

El otro camino, es decir, $ker(d^*) \subseteq im(j^*)$ : suponer $d^*[c] = [a]=0$ , donde $[c] \in H^k(C)$ Esto significa que $a=da´$ para algunos $a´ \in A^k$ .calculo el $d^*$ de nuevo por el diagrama y tomar un elemento $b \in B^k$ con $j(b) = c$ y $i(a) = db$ . Entonces $b - i(a´)$ es un cociclo en $B^k$ que mapea a c bajo j:

$d(b - i(a´)) = db-di(a´) = db - id(a´) = db - ia = 0$ , $j(b - i(a´)) = db-ji(a´) = j(b) = c$ Por lo tanto, $j^*[b - i(a´)]= [c]$ .

Answer 1

En primer lugar las pruebas no son muy difíciles y pasan sin ninguna complicación así como su prueba la exactitud en $H^k(C)$ dado. Para una prueba de esto recomendaría cualquier literatura estándar como Neukirch , p. 24 (en alemán) o NSW p.26 utilizando el lema de Snake.