No es cuestión
Para cada uno de prime $p$, muestran que la congruencia $x^2 \equiv1 \pmod {p^a}$ tiene exactamente dos soluciones.
Continuar y mostrar que la congruencia $x^2 \equiv 1 \pmod {2^a} $ tiene una solución si $a=1$, dos soluciones si $a=2$, y cuatro soluciones si $a \ge 3$.
No sé cómo hacer. Ayuda por favor?
Una sugerencia ha sido dada ya por extraños números primos. Así que vamos a tratar con $2^a$. Si $a=1$ o $a=2$, usted debería ser capaz de verificar la afirmación, por calcular.
Para la práctica, también podemos hacer un cálculo explícito de $a=3$. Es fácil comprobar que $1^2\equiv 1\pmod{8}$,$3^2\equiv 1\pmod{8}$,$5^2\equiv 1\pmod{8}$,$7^2\equiv 1\pmod{8}$. Y por supuesto, si $x$ es incluso entonces no podemos tener a $x^2\equiv 1\pmod{8}$, por lo que hay $4$ soluciones modulo $8$.
Ahora veamos general $a\ge 3$. Supongamos que $x^2\equiv 1\pmod{2^a}$. Esto puede escribirse como $$(x-1)(x+1)\equiv 1\pmod{2^a}.$$ Tenga en cuenta que $x$ debe ser impar, por lo tanto $x-1$ $x+1$ son incluso. Si $x-1$ es congruente a $0\pmod{4}$,$x+1\equiv 2\pmod{4}$. Y si $x-1\equiv 2\pmod{4}$,$x+1\equiv 0\pmod{4}$.
Así que si $x$ es impar, uno de $x-1$ o $x+1$ es divisible por $4$, y el otro es divisible por $2$ pero no más poder de $2$.
Si $2^a$ divide $(x-1)(x+1)$ donde$a\ge 3$, $4$ posibilidades:
(i) $2^a$ divide $x-1$, $x\equiv 1\pmod{2^a}$. De manera informal, $x-1$ todo por sí mismo contribuye suficientemente $2$'s.
(ii) $2^a$ divide $x+1$, $x\equiv -1\pmod{2^a}$. De manera informal, $x+1$ contribuye suficientemente $2$'s.
(iii) $2^{a-1}$ divide $x-1$, pero $2^a$ no. De manera informal, $x-1$ no tienen suficiente $2$'s, sino $x+1$ fichas en con la única $2$ que tiene. A continuación,$x-1\equiv 2^{a-1}\pmod{2^a}$, $x\equiv 1+2^{a-1}\pmod{2^a}$.
(iv) $2^{a-1}$ divide $x+1$, pero $2^a$ no. Que da $x\equiv -1+2^{a-1}\pmod{2^a}$.
Es casi obvio que si $a\ge 3$ estos $4$ soluciones son incongruentes modulo $2^a$.
Si $a\ge 3,$ $2^a\mid (x-1)(x+1), x$ debe ser impar,
Por eso, $$2^{a-2}\mid \left(\frac{x-1}2\right)\left(\frac{x+1}2\right)$$
Ahora, $$\frac{x+1}2-\frac{x-1}2=1$$ So, $$\left(\frac{x-1}2,\frac{x+1}2\right)=1$$
Ahora, ya sea $$2^{a-2}\mid \left(\frac{x-1}2\right)$$ or $$2^{a-2}\mid \left(\frac{x+1}2\right)$$
Si $$2^{a-2}\mid \left(\frac{x-1}2\right)\implies 2^{a-1}\mid(x-1)\implies x\equiv 1\pmod {2^{a-1}}\equiv 1,1+2^{a-1}\pmod {2^a}$$
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