Valor mínimo de $2^{\sin^2x}+2^{\cos^2x}$

Question

La pregunta es ¿cuál es el valor mínimo de $$2^{\sin^2x}+2^{\cos^2x}$$ Creo que si me pongo a $x=\frac\pi4$ entonces obtener un mínimo de $2\sqrt2$. Pero, ¿cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Tenemos que $$\min_{x\in\mathbb{R}}\left\{2^{\sin^{2}x}+2^{\cos^{2}x}\right\}= \min_{t\in[0,1]}\left\{2^{t}+2^{1-t}\right\}=\min_{r\in[1,2]}\left\{r+\frac{2}{r}\right\}=2\sqrt{2}$$ donde en el último paso hemos utilizado el hecho de que para $r>0$, $$r+\frac{2}{r}\geq 2\left(r\cdot\frac{2}{r}\right)^{1/2}=2\sqrt{2}$$ and the equality holds if $r=\sqrt{2}\in[1,2]$.

Answer 2

Por el AM-GM de la desigualdad $$ 2^{\sin^2(x)}+2^{\cos^2(x)} \geq 2\sqrt{2^{\sin^2(x)}\cdot 2^{\cos^2(x)}} =2\sqrt{2}$$ y la igualdad se logra sólo cuando se $2^{\sin^2(x)}=2^{\cos^2(x)}$, es decir, sólo cuando $\sin^2(x)=\cos^2(x)$.

Answer 3

Deje $y=2^{\sin^2x}+2^{\cos^2x}=2^{\sin^2x}+2^{1-\sin^2x}$

$$(2^{\sin^2x})^2-2y\cdot2^{\sin^2x}+2=0$$ which is a Quadratic Equation in $2^{\el pecado^2x}$

Así, el discriminante debe ser $\ge0$

$$(2y)^2\ge4\cdot2\implies y^2\ge2$$

Como $y>0,y\ge\sqrt2$

La igualdad ocurre si $$2^{\sin^2x}=\dfrac{2\sqrt2}2=\sqrt2=2^{1/2}$$

es decir, si $\sin^2x=\dfrac12\iff\cos2x=0$

Answer 4

Usted sabe que $\cos^2 x = 1 - \sin^2x$, así que usted puede reescribir: $$ 2^{\sin^2x} + 2^{\cos^2x} = 2^{\sin^2x} + 2^{1-\sin^2x} = 2^{\sin^2x} + \frac{2}{2^{\sin^2x}} $$ Ahora, vamos a $2^{\sin^2 x} = y$, luego tenemos básicamente para maximizar $y + \frac{2}{y}$. Pero entonces, tenga en cuenta que: $y + \frac{2}{y}$ ha derivado $1 - \frac{2}{y^2}$, $0$ al $y^2 = 2$ o $y = \sqrt{2}$. Por lo tanto, $\sin^2 x = \frac{1}{2}$, por lo tanto $x = \arcsin \frac{1}{\sqrt{2}} = 45^\circ$

Answer 5

Como siempre con los mínimos, tomamos la derivada y el conjunto es igual a cero, luego de resolver la ecuación.