Deje $\dfrac{A_{n}}{B_{n}}$ $n^{th}$ convergentes (approximant) $$ \frac{A_{n}}{B_{n}}=b_{0}+\dfrac{a_{1}}{b_{1}+\dfrac{a_{2}}{b_{2}+\dfrac{a_{3}}{\begin{array}{c} b_{3}+ \\ \\ \end{array} \begin{array}{cc} \ddots & \\ & \end{array} +\dfrac{a_{n-1}}{b_{n-1}+\dfrac{a_{n}}{b_{n}}}}}} $$ de una fracción continua. $A_{n}$, $A_{n-1}$, y $A_{n-2}$ satisfacer las la recurrencia $$ \begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} A_{n} \\ B_{n} \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} A_{n-1} & A_{n-2} \\ B_{n-1} & B_{n-2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{n} \\ a_{n} \end{pmatrix} \quad \text{para }n\geq 1, \\ && \\ \text{y } \begin{pmatrix} A_{-1} & A_{0} \\ B_{-1} & B_{0} \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 1 & b_{0} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} , \end{eqnarray*} $$ lo que puede ser demostrado por inducción.
Pregunta: ¿hay un no inductivas prueba?
EDIT: he cambiado el título. Basado en el comentario de abajo por anon
Los numeradores y denominadores se define inductivamente y yo no creo que voy a encontrar una fórmula explícita para el n-ésimo convergente de un arbitraria continuó fracción (aunque tal vez de particulares con patrones específicos, como $\varphi$) -, así que no veo otra forma dicen que demostrar nada sobre el convergents excepto inductiva.
Yo reformular la pregunta para
Pregunta: Es correcto que los fundamentales de la recurrencia de un arbitrario continuó fracción no puede ser probado sin el uso de la inducción matemática?
