Mi pregunta se refiere a una variación y una generalización de la siguiente adivinanza.
El Enigma Inicial:
Una malvada bruja secuestra a 2 de los gnomos. Ella se paraliza, y coloca un sombrero en cada una de sus cabezas. Cada sombrero tiene el número $de$ 1 o el número 2 $de$ escrito en ella (tanto los sombreros pueden tener el mismo número). Luego coloca los gnomos para que se enfrentan entre sí (cada gnome ve el número del otro, de gnome sombrero). Después, ella se pone a los gnomos en habitaciones separadas, donde ella se deshace de la parálisis, y pide a cada uno de los gnomos de adivinar en qué número está escrito en su propio sombrero. Si al menos uno de los gnomos se adivina a la derecha, que va a dejar ir, de lo contrario se va a utilizar para hacer un gnome-guiso. Por suerte para los gnomos, que sabían acerca de la bruja del plan, y se planearon con anticipación. Se preparó una estrategia que siempre es garantía de que al menos uno de ellos se adivina a la derecha. ¿Cuál fue su estrategia?
Solución:
La primera de gnome (por llamarlo de gnome $$), se selecciona siempre el opuesto de lo que él vio en el segundo de gnome (por llamarlo de gnome $B$) hat, mientras que gnome $B$ se selecciona siempre el mismo valor que vio en gnome $$'s hat. Poner esta estrategia en una tabla de verdad muestra que siempre funciona: $$ \begin{array}{c|c|c|c} \text{Gnome Un Sombrero} & \text{Gnome B del Sombrero} & \text{Gnome Una Adivina} & \text{Gnome B Adivinar} \\ \hline 1 & \color{cal}1 & 2 & \color{cal}{1} \\ \color{cal}1 & 2 & \color{cal}1 & 1 \\ \color{cal}2 & 1 & \color{cal}2 & 2 \\ 2 & \color{cal}2 & 1 & \color{cal}2 \\ \end{array} $$
También se puede dar una explicación más intuitiva para la solución: Gnome $A$ los juegos que tanto los gnomos tienen diferentes valores de los números en sus sombreros, mientras que gnome $B$ apuestas que tanto los gnomos tienen iguales valores de los números en sus sombreros. Ya que estas son las únicas posibilidades, al menos uno de ellos debe ser el correcto.
Una Variación:
¿Cómo puede el enigma se resolvió con 3 gnomos, y los sombreros con 3 valores ($1$, $2$ y $3$), donde cada uno de los gnomos ve los valores en los otros dos gnomos los sombreros? Y no hay una explicación intuitiva de la solución?
Respuesta Parcial:
Probando algunos de los valores que he encontrado la siguiente estrategia resuelve el problema de 3 gnomos: $$ % exterior vertical de la matriz de matrices \begin{array}{c} % interior horizontal de la matriz de matrices \begin{array}{cc} % interior de la matriz de los valores mínimos \begin{array}{c|c|c} \text{Un Sombrero} & \text{B del Sombrero} & \text{C Adivinar} \\ \hline 1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 3 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{array} y % interior de la matriz de los valores máximos \begin{array}{c|c|c} \text{Un Sombrero} & \text{C Hat} & \text{B Adivinar} \\ \hline 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \end{array} \end{array} \\ \\ % interior de la matriz de los valores delta \begin{array}{c|c|c} \text{B del Sombrero} & \text{C Hat} & \text{A Adivinar} \\ \hline 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ 3 & 3 & 2 \end{array} \end{array} $$ Donde la tercera columna de cada tabla representa una de gnome supongo que, dado lo que él ve en los otros dos gnomos los jefes. Esta estrategia funciona siempre, como se indica en la tabla de verdad siguiente: $$ \begin{array}{c|c|c|c} \text{Un Sombrero} & \text{B del Sombrero} & \text{C Hat} & \text{A Adivinar} & \text{B Adivinar} & \text{C Adivinar} \\ \hline \color{cal}1 & 1 & 1 & \color{cal}1 & 2 & 3 \\ 1 & \color{cal}1 & 2 & 2 & \color{cal}1 & 3 \\ 1 & 1 & \color{cal}3 & 3 & 3 & \color{cal}3 \\ 1 & \color{cal}2 & 1 & 3 & \color{cal}2 & 3 \\ \color{cal}1 & 2 & 2 & \color{cal}1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & \color{cal}3 & 3 & 3 & \color{cal}3 \\ 1 & 3 & \color{cal}1 & 2 & 2 & \color{cal}1 \\ \color{cal}1 & 3 & 2 & \color{cal}1 & 1 & 1 \\ 1 & \color{cal}3 & 3 & 2 & \color{cal}3 & 1 \\ 2 & \color{cal}1 & 1 & 1 & \color{cal}1 & 3 \\ \color{cal}2 & 1 & 2 & \color{cal}2 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & \color{cal}3 & 3 & 2 & \color{cal}3 \\ 2 & 2 & \color{cal}1 & 3 & 1 & \color{cal}1 \\ 2 & \color{cal}2 & 2 & 1 & \color{cal}2 & 1 \\ 2 & \color{cal}2 & 3 & 3 & \color{cal}2 & 1 \\ \color{cal}2 & 3 & 1 & \color{cal}2 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & \color{cal}2 & 1 & 2 & \color{cal}2 \\ \color{cal}2 & 3 & 3 & \color{cal}2 & 2 & 2 \\ 3 & \color{cal}1 & 1 & 1 & \color{cal}1 & 2 \\ 3 & 1 & \color{cal}2 & 2 & 3 & \color{cal}2 \\ \color{cal}3 & 1 & 3 & \color{cal}3 & 3 & 2 \\ \color{cal}3 & 2 & 1 & \color{cal}3 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & \color{cal}2 & 1 & 3 & \color{cal}2 \\ \color{cal}3 & 2 & 3 & \color{cal}3 & 3 & 2 \\ 3 & 3 & \color{cal}1 & 2 & 1 & \color{cal}1 \\ 3 & \color{cal}3 & 2 & 1 & \color{cal}3 & 1 \\ 3 & \color{cal}3 & 3 & 2 & \color{cal}3 & 1 \\ \end{array} $$ Sin embargo, no podía encontrar una explicación intuitiva para esta solución, ni podía demostrar que esta es la única solución. Esto motiva a la primera parte de mi pregunta:
Es allí una manera más intuitiva para mirar la solución dada por 3 gnomos, y es esta la única solución?
La segunda parte se refiere a una generalización de la pregunta:
Hay una técnica general que puede ser usado para resolver esta pregunta para $n$ gnomos y sombreros con $n$ valores?
