Tengo que desmentir una alternativa de definición de par ordenado. ¿Por qué es $\langle a,b\rangle = \{a,\{b\}\}$ incorrecta?

Question

Así que sabemos que un par ordenado $(a,b) = (c,d)$ si y sólo si $a = c$$b = d$. Y sabemos que la Kuratowski definición de un par ordenado es: $(a,b) = \{\{a\},\{a,b\}\}$

http://en.wikipedia.org/wiki/Ordered_pair#Kuratowski_definition

La prueba de la Kuratowski definición está en el enlace de wikipedia.

Ahora, ¿por qué es de esta alternativa de definición, $(a,b) = \{a,\{b\}\}$ incorrecta?

Estoy tratando de seguir la prueba para $(a,b) = (c,d)$ fib $a = c$ $b = d$ como se da en el enlace de wikipedia, sólo para esta alternativa de definición para un par ordenado, con el fin de buscar una contradicción. Pero creo que no estoy dong derecho.

Empecé con...

• $(a,b) = (c,d)$
• A continuación, $\{a,\{b\}\} = \{c,\{d\}\}$ basado en la alternativa de la definición

Ahora...

• Supongamos $a \neq b$
  • $\{a,\{b\}\} = \{c,\{d\}\}$
  • Pero ya que es un par ordenado, cualquiera de los siguientes puede ser verdad?
    • $a = c$ $\{b\} = \{d\}$ ?
    • O $a = \{d\}$$\{b\} = c$ ?

Sí tengo ni idea de donde realmente ir de aquí. Es que una contradicción en sí misma? No lo puedo decir.

Gracias por la ayuda.

Edit: Bueno, he desarrollado un contador de ejemplo basado sobre todo fuera de Asaf Karagila respuesta (Gracias a Asaf!). Esencialmente lo que tenía que hacer era demostrar que, por definición, un != c o b != d, incluso cuando (a,b) = (c,d).

Así que, usando lo que Asaf me dijo, me puse a = {x} y b = y. Que por la incorrecta definición de da... (a,b) = {{x},{y}}

Luego he conjunto c = {y} y d = x, lo que da (c,d) = {{y},{x}} el cual es equivalente a {{x},{y}}

Por lo tanto, (a,b) = (c,d) a pesar de que un != c y b != d, lo cual es una contradicción. Me aclaró este método con mi profesor.

Gracias por la ayuda a todos!

Answer 1

La decodificación de la primera y la segunda de los elementos no es única. Supongamos que $c\neq d$, ahora tenemos:

$$(\{c\},d)=\{\{c\},\{d\}\}=(\{d\},c)$$

Recordemos que la definición de los pares ordenados no sólo debe mantener para los pares de números. Se debe permitir a la teoría de conjuntos de ser adecuada para expresar un montón. Usando esta definición, lo anterior muestra que las dos funciones:

1. $f(x)=\{x\}$
2. $g(\{x\})=x$

Están representadas por el mismo conjunto. Cual es generalmente un signo de una inadecuada representación de un par ordenado.

Answer 2

El par ordenado definición está destinado a trabajar para cualquier tipo de conjunto, por lo que suponiendo que el trabajo con los números no es realmente el camino a seguir.

Hay una razón por la que la "segunda coordenada" debe contener dos elementos. He aquí por qué.

Dicen que definir los pares ordenados $(a,b) = \{a, \{b\}\}$. Existe de todos modos usted puede decidir "cuál es la primera coordenada"? a priori, ambos elementos del par ordenado son conjuntos, y que no tienen ninguna razón para creer que se puede distinguir entre uno de los dos por el hecho de que ellos pertenecen a otro conjunto. Por ejemplo, si usted toma un par ordenado $(a,b) \in \mathcal P(X) \times X$, entonces para algún elemento $x \in X$ puede considerar que el par ordenado $(\{x\},x)$, que en virtud de su definición que da el set $\{\{x\},\{x\}\}$. Por lo tanto, no hay ninguna manera de distinguir entre los dos coordenadas.

Kuratowski la definición asegura que podemos saber que coordinar es el primer /segundo porque no están bien definidos los operadores de que la salida de la derecha de coordenadas. Su sitio web vinculado explica bien.

Espero que ayude,