Si $a,b,m$ $n$ son enteros positivos tales que a $\sqrt[m]{a}$ $\sqrt[n]{b}$ los números irracionales, ¿cómo podemos demostrar que la suma de $\sqrt[m]{a}+\sqrt[n]{b}$ irracional?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
user30382
Puntos
48
Vamos enteros positivos $a'$, $b'$, $m'$ y $n'$ ser dado. Vamos $a$, $b$, $m$ y $n$ ser mínima tal que $\sqrt[m]{a}=\sqrt[m']{a'}$$\sqrt[n]{b}=\sqrt[n']{b'}$. A continuación, el mínimo polinomios de $\sqrt[m]{a}$$\sqrt[n]{b}$$f_a(X)=X^m-a$$f_b(X)=X^n-b$, respectivamente.
Supongamos $\sqrt[m]{a}+\sqrt[n]{b}=q\in\Bbb{Q}$. A continuación,$f_a(X)=f_b(q-X)$, y, por tanto,$X^m-a=(q-X)^n-b$. En particular $m=n$, $q=0$ y $a=b$. A continuación, $\sqrt[m]{a}+\sqrt[n]{b}=2\sqrt[m]{a}=2\sqrt[n]{b}$ es racional, y por lo tanto ambos $\sqrt[m']{a'}$ $\sqrt[n']{b'}$ son racionales, una contradicción.
renegade
Puntos
126
Una manera de mostrar que la suma de las raíces cuadradas es un número irracional(permítanme examinar este caso, que incluye la idea de abordar el problema general -, aunque si se pueden poner en práctica, no está claro), es notar que se puede escribir como una suma de las raíces cuadradas como una sola raíz cuadrada.
Considere la posibilidad de $\sqrt2$ + $\sqrt5$. Usted quiere encontrar un número $z$ tal que $z=(\sqrt2+\sqrt5)^2$$\sqrt z=\sqrt{(2+2\sqrt2\sqrt5+5)}$. Que es $\sqrt{(7+2\sqrt{10 })}$ ,que es una raíz cuadrada de un número irracional. Y una raíz cuadrada de un número irracional es siempre irracional.
