¿Por qué se necesitan dos direcciones, para hacer $\sim_{\rm wa}$ una relación de equivalencia?

Question

Deje $\pi$ $\sigma$ ser representaciones de una $C^*$-álgebra $\mathcal{A}$. Son débiles aproximadamente equivalente ($\pi\mathbin{\sim_{\rm wa}}\sigma$) si hay secuencias de operadores unitarios $\{U_n\}$ $\{V_n\}$ tal que \begin{equation} \sigma(A)=\operatorname{WOT-lim} U_n\pi(A) U_n^*, \end{equation} \begin{equation} \pi(A)=\operatorname{WOT-lim} V_n\sigma(A) V_n^* \end{equation} para todas las $A\in\mathcal{A}$.

Muchos libros señalar que ambas direcciones son necesarios para obtener una relación de equivalencia, pero ni idea es por qué. Ya para aproximar la equivalencia ($\mathbin{\sim_{\rm a}}$), sólo una dirección que se necesita, me pregunto por qué para $\mathbin{\sim_{\rm wa}}$ necesitamos dos.

Gracias!

Answer 1

Creo que tengo un ejemplo. Las representaciones son degenerados, pero no veo ninguna suposición en Davidson que no debería ser.

Deje $A=B(\ell^2(\mathbb Z_{\geq 0}))$ (o cualquier valor distinto de cero $C^*$-subalgebra). Deje $P:\ell^2(\mathbb Z)\to\ell^2(\mathbb Z_{\geq 0})$ proyección ortogonal, y definir $\pi:A\to B(\ell^2(\mathbb Z))$ $\pi(a)=P^*aP$ (esencialmente la incrustación $A$ en la esquina inferior derecha de $B(\ell^2(\mathbb Z))$). Deje $U$ ser el derecho a cambiar de $\ell^2(\mathbb Z)$, y definir la secuencia de $(U_n)_{n\geq 1}$ de operadores unitarios en $\ell^2(\mathbb Z)$$U_n=U^n$. A continuación, para todos $a\in A$, $\text{WOT-}\lim_n U_n \pi(a) U_n^*=0$. Por lo tanto $\pi$ es "a medio camino" débil aproximadamente equivalente a la $0$ en representación $\sigma(a)=0$$\ell^2(\mathbb Z)$, pero no débil aproximadamente equivalente a la $0$ de representación.