Hay infinidad de $m$ tal que $m^4 + 1$ tiene grandes factores primos

Question

¿Cómo puedo demostrar que no es el conjunto infinito de los números de $m$ tales que el mayor divisor primo de $m^4+1$ es mayor que $2m$?

Answer 1

Deje $p$ ser un primer congruente con 1 módulo 8 --- hay infinitamente muchos de ellos. Para cada una de las prime, hay 8 números $a$, $0\lt a\lt p$, tal que $p$ divide $a^8-1=(a^4-1)(a^4+1)$. Así que hay cuatro números de $m$ tal que $p$ divide $m^4+1$. Vienen en pares que se suman a la $p$, por lo que dos de ellos están a menos de $p/2$. Cualquiera de las dos es, pues, una $m$ con un divisor primo superior a $2m$.

Cada una de las $m$ tiene sólo un número finito de $p$ dividiendo $m^4+1$, por lo que hay infinitamente muchos de esos $m$.