Acerca de la definición de la categoría?

Question

En algunos libros de la definición de una categoría incluye las siguientes condiciones:

Si $(X, Y)$ $(X^\prime, Y^\prime)$ son distintos pares de objetos, a continuación,$\textrm{Hom}(X, Y)\cap \textrm{Hom}(X^\prime, Y^\prime)=\emptyset$.

¿Alguien puede explicar mí la necesidad de esto? Por eso que algunos autores no incluyen esta condición?

Answer 1

Es necesario exigir diferentes hom conjuntos son disjuntos ya que de lo contrario una sola morfismos pueden tener diferentes de dominio y/o codominio, y que pueden afectar a la que morfismos es épico, monic, etc. Para entender la importancia de esta que acabo de recordar por qué es importante (por ejemplo, en la categoría de conjuntos y funciones, para exigir que las dos funciones de $f(x)=\sin x$ donde $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ $g(x)=\sin x$ donde $g\colon \mathbb R \to [-1,1]$ ser considerados diferentes. Después de todo, $f$ no es surjective sino $g$ es. Si no hemos de distinguir entre estas dos funciones, entonces es $f=g$ surjective o no?

Yo creo que todos los autores incluyen este axioma en un tipo u otro. Todo lo que dice es que todos los morfismos tiene un dominio único y un único codominio.