Esta es una pregunta de J. P. Serre del libro 'representación Lineal de grupos finitos',la sección 2.4
La pregunta: Vamos a $G$ ser un grupo finito. Mostrar que cada uno de los caracteres de $G$ que es cero para todos los $g \ne 1$ es un múltiplo del carácter $r_G$ regulares de la representación.
Lo que he hecho hasta ahora: $r_G$ satisface $r_G(g) = 0$ todos los $g \ne 1$, e $r_G(1) = |G|$, la orden de $G$. Si $\chi$ denota el carácter y, a continuación, $\chi(g) = r_G(g) = 0$ todos los $g \ne 1$, por lo que es suficiente para mostrar que el $|G|$ divide $\chi(1)$. Si $\chi_1,...,\chi_k$ indica todos los irreductible personajes de $G$, con la dimensión de las representaciones de $n_1,...,n_k$ respectivamente, entonces podemos escribir $\chi = \sum_{i=1}^k \langle \chi,\chi_i\rangle \chi_i$ donde $\langle \chi,\chi_i\rangle$ es el interior del producto. Y es fácil calcular el $\langle \chi,\chi_i\rangle = (\chi(1)/|G|)\,n_i$. Así que cada uno de estos valores deben ser números enteros para todos los $i$. Pero, ¿cómo llega uno a la conclusión de que en el hecho de $\chi(1)/|G|$ es un número entero?
gracias de antemano.
