Resolver una ecuación logarítmica que tiene una excepción a la regla de la potencia

Question

Teniendo en cuenta lo siguiente:

$$\log_3({x^2-3})^2=2$$

Si tuviera que usar la regla del poder, lo haría:

$$2\log_3({x^2-3})=2$$

$$\log_3({x^2-3})=1$$

$$3^1=x^2-3$$

$$3+3=x^2$$

$$x=\pm\sqrt6$$

Sustituyendo de nuevo en la ecuación original, es correcto. Sin embargo, hay una respuesta perdida:

$$x=0$$

Sustituyendo que en la ecuación original, también es correcta, pero al utilizar la regla de la potencia, se ha pasado por alto.

Obviamente, esta es una pregunta bastante simple, por lo que podría haber hecho $3^2=(x^2-3)^2$ y lo resolvió así, en cuyo caso la respuesta de $0$ aparecerá. Sin embargo, para cuestiones más complicadas, ¿cómo se puede hacer? ¿Y hay excepciones a este ¿excepción?

Answer 1

El paso perdido fue el primero: $\log_3({x^2-3})^2=2\log_3(|x^2-3|)$ (siempre que $|x^2-3|\neq0$ . En su problema particular, siempre que $x\neq \pm\sqrt{3}$ ).

Ahora, si $|x^2-3|\neq 0$ entonces $2=\log_3({x^2-3})^2=2\log_3(|x^2-3|)$ si $1=\log_3(|x^2-3|)$ si $3=|x^2-3|$ si $x=0$ o $x=\pm\sqrt{6}$

Answer 2

Por lo tanto, el problema surge por este hecho: $\text{log}(a^b)=b\text{log}(a)$ sólo si $a>0$ . Entonces, cuando bajaste el 2 usando la regla de la potencia, estabas asumiendo que $x^2-3>0$ cuando ahora que ves una solución es $x=0$ por lo que no es necesario que $x^2-3>0$ . Ahí es donde la solución cero fue desechada. Así que en este caso, al cambiarlo a la forma exponencial se conservan todas las soluciones.

Con problemas más complicados, sólo tienes que tener en cuenta si la regla que quieres utilizar desecha o no las soluciones. Espero que esto te ayude.

Answer 3

En este caso, si quiere conservar el dominio ( $\mathbb{R}\setminus\{\pm\sqrt3\}$ ), tiene $$\log_3|x^2-3|=1,$$ que da la solución adicional.

Answer 4

No hay excepción a la regla del poder aquí, es su error en el manejo de la expresión. El error es similar a decir, si $(x+1)^2 > 9$ entonces $x+1>3$ .

El cuadrado de la función interna garantiza que el argumento del logaritmo es no negativo, y el dominio de la ecuación son todos los reales con dos puntos excluidos: $$\{x:(x^23)^2 > 0\} = \{x:(x^23)\ne 0\} = \mathbb R \setminus \{\pm\sqrt 3\}$$ Al "quitar" el cuadrado se corta la parte del dominio en la que $(x^2-3)<0$ , dejando $$\{x:(x^2-3)>0\} = \mathbb R \setminus [-\sqrt 3,\sqrt 3]$$ por lo que se pierde la(s) solución(es) dentro del intervalo $(-\sqrt 3,\sqrt 3)$ .

Answer 5

Creo que la excepción de la regla del poder existe porque (dejemos $a$ igual a lo siguiente) $$a = x^2-3$$ no es estrictamente >=0, ya que por x=0, verás que es igual a 3 negativo, por lo que tomar el logaritmo de algo así es indefinido.

$a^2$ es estrictamente no negativo, por lo que el logaritmo se puede resolver como has mencionado correctamente con todas las soluciones, por lo que una vez que se utiliza la regla de la potencia, se rompe el 'estrictamente no negativo' de los logaritmos.