¿Cómo resolver este problema sin usar la conservación de la energía

Question

Yo creo que la mayoría de ustedes probablemente resuelve el siguiente problema utilizando la conservación de la energía, como se muestra aquí. Establece un bloque de masa $m$ que se deslizan sobre una esfera de radio $R$.

He de estar tratando de resolver este problema utilizando sólo las leyes de Newton sin conservación de la energía. Me gustaría saber si es posible y si lo es, si usted me pudiera dar algunas ideas de cómo resolverlo. El problema que estoy teniendo actualmente es que creo que la fuerza Normal en este problema no es una constante, sino una función del ángulo.

Creo que es claro que el bloque de la trayectoria es una curva antes de que se cae de la esfera. Si se trata de una curva, tenemos una fuerza centrípeta dada por

$$ m\frac{v^2}{R} = mg\cos\theta - N(\theta) $$

Donde creo que el $N$ es una función de $\theta$.

Cuando los bloques se obtiene fuera de la esfera no hay fuerza normal más, por lo en este instante la centrípeta resultante es justo

$$ m\frac{v^2}{R} = mg\cos\theta $$

También se puede ver que en el $y$ eje, la fuerza resultante está dada por

$$ ma_{y} = P - N(\theta)\cos\theta $$

Y la aceleración es

$$ a_{y} = g - \frac{N(\theta)}{m}\cos\theta $$

Ahora yo podría tratar de resolver

$$ \frac{dv_y}{dt} = g - \frac{N(\theta)}{m}\cos\theta $$

para obtener la velocidad en la $y$ eje y de alguna manera la figura es la altura donde la fuerza normal es cero... de todos Modos, esto es lo que sé del problema y estoy perdido. Consejos sobre cómo resolverlo?

Answer 1

Ponemos la órbita circular de la partícula en una línea recta y convertir el movimiento en un 1-dimensional rectilíneo movimiento de la siguiente manera : La longitud del arco, la natural parámetro $\:s(t)\:$ es la distancia recorrida en la línea recta hasta el tiempo de $\:t\:$. La velocidad de $\:v(t)\:$ sobre la línea recta es la magnitud de la tangente a la circunferencia de la velocidad. Ahora, en la recta de la línea de la partícula se mueve bajo la influencia de la tangente de la fuerza que es$\:f_{t}=mg\sin(\theta)\:$, por lo que en virtud de una variable de aceleración $\:a_{t}=g\sin(\theta)\:$. Pero $\:\theta=s/R\:$, por lo que la ecuación diferencial del movimiento es

\begin{equation} \dfrac{\mathrm{d}^{2} s}{ \mathrm{d}t^{2} }-g\sin\left(\dfrac{s}{R}\right)=0, \qquad \left[\dfrac{ \mathrm{d} s }{\mathrm{d} t}\right]_{t=0}=0, \qquad s(0)=0 \tag{01} \end{equation}

puesto que la partícula se inicia en reposo en el origen.

Por otro lado, la condición de la partícula a salir de la esfera es la fuerza normal es igual a cero \begin{equation} N=mg\cos(\theta)-ma_{c}=mg\cos(\theta)- \dfrac{mv^{2}}{R}=0 \tag{02} \end{equation} que es \begin{equation} \boxed { \bbox[#FFFF88,8px]{\:\:\left(\dfrac{ \mathrm{d} s }{\mathrm{d} t}\right)^{2}-gR\cos\left(\dfrac{s}{R}\right)=0 \:\:}} \tag{03} \end{equation}

Ahora, debemos resolver (01) para encontrar el punto en el cual la condición (03) es satisfecho. Pero resultó ser que no sea necesario. Así, la multiplicación de (01) por $ \dfrac{ \mathrm{d} s }{\mathrm{d} t} $ hemos \begin{equation} \dfrac{ \mathrm{d} s }{\mathrm{d} t}\dfrac{\mathrm{d}^{2} s}{ \mathrm{d}t^{2} }-g\dfrac{ \mathrm{d} s }{\mathrm{d} t}\sin\left(\dfrac{s}{R}\right)=0 \tag{04} \end{equation} o \begin{equation} \dfrac{ \mathrm{d} s }{\mathrm{d} t} \dfrac{ \mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \left(\dfrac{ \mathrm{d} s }{\mathrm{d} t}\right) +\dfrac{ \mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left[gR\cos\left(\dfrac{s}{R}\right)\right]=0 \tag{05} \end{equation} que es \begin{equation} \dfrac{ \mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \Biggl[ \left(\dfrac{ \mathrm{d} s }{\mathrm{d} t}\right)^{2}+2gR\cos\left(\dfrac{s}{R}\right) \Biggr]=0 \tag{06} \end{equation}

Esto significa que hemos encontrado una constante de integración de (01) y de manera más explícita, usando las condiciones iniciales

\begin{equation} \Biggl[ \left(\dfrac{ \mathrm{d} s }{\mathrm{d} t}\right)^{2}+2g\cos\left(\dfrac{s}{R}\right) \Biggr]=\text{constant}=\Biggl[ \left(\dfrac{ \mathrm{d} s }{\mathrm{d} t}\right)^{2}+2gR\cos\left(\dfrac{s}{R}\right) \Biggr]_{t=0}=2gR \tag{07} \end{equation} o \begin{equation} \boxed { \bbox[#FFFF88,8px]{\:\: \left(\dfrac{ \mathrm{d} s }{\mathrm{d} t}\right)^{2}+2gR\cos\left(\dfrac{s}{R}\right) =2gR \:\:}} \tag{08} \end{equation}

Substructing ecuaciones (08) y (03) de lado a lado por fin hemos

\begin{equation} \cos\left(\theta\right)=\cos\left(\dfrac{s}{R}\right) =\dfrac{2}{3} \tag{09} \end{equation}

Notas :

1. La ecuación diferencial de movimiento (01) es idéntica a la de la Dvij la respuesta, pero con respeto a $\:s(t)=\theta(t)R\:$ en lugar de $\:\theta(t)\:$.

2. Puedo encontrar la constante de integración (07) de la ecuación (01) motivado por el hecho de que existe una constante : la energía. He insertado la conservación de la energía a través de la puerta de atrás.

Answer 2

@dvij dio la ecuación de $$g\sin \theta =R\frac{d^2\theta}{dt^2}=R\frac{d\omega }{dt}$$ Si multiplicamos esto por omega, obtenemos: $$g\sin \theta \frac{d\theta}{dt}=R\omega\frac{d\omega }{dt}$$ Si integramos esta ecuación entre 0 y t, se obtiene: $$g(1-\cos \theta)=\frac{R}{2}\omega^2$$ Así que tenemos $$mg\cos\theta-2mg(1-\cos \theta)=N=mg(3cos\theta-2)$$ No sé si esto cuenta como un método de energía o no.

Answer 3

Si una 'ley' de la Física pueden ser muy descuidados y todavía se puede predecir el resultado de un experimento completamente con precisión, a continuación, no es una ley de la Física. Así que si la conservación de la energía es un hecho físico de aquí, a continuación, ya sea implícita o explícitamente, vamos a usar ese hecho - de lo contrario, no debemos ser capaces de predecir el resultado completo. Así que yo supongo que tu pregunta es para calcular la trayectoria de la pelota sin ningún uso explícito de la conservación de la energía, pero a través de (como usted ha dicho) de Newton, las ecuaciones de frío.

Dado que el radio de la esfera es constante, es fácil utilizar las ecuaciones de movimiento angular en lugar de utilizar rectangular ecuaciones con dos componentes. Yo soy la medición de $\theta$ respecto a la vertical.

$Rmg\sin\theta$ $=$ $mR^2\dfrac{d^2\theta}{dt^2}$

O, $g\sin\theta=R\dfrac{d^2\theta}{dt^2}$

Esta es la ecuación de movimiento. Vamos a poner las condiciones iniciales $\theta=0$$\dfrac{d\theta}{dt}=0$. Y vamos a tener más de una de las soluciones a este ecuaciones diferenciales! ( Es extraño en una forma y por qué pasa eso es una larga discusión. Pero no sugieren que la Mecánica Newtoniana es probabilístico o sólo parcialmente determinista. Sólo sugiere que el estado inicial, en algunos casos, no está completamente descrito a través de los derivados de la primera orden en el tiempo - tenemos que especificar algo más.) Fuera de esas soluciones, vamos a recoger la solución en la que $\theta$ aumenta con el tiempo. Así que, esencialmente, ahora tenemos una función conocida del tiempo, $f(t)$, por lo que el $\theta=f(t)$.

De haber sabido esto, podemos simplemente escribir una ecuación para la Reacción Normal de la fuerza de la siguiente manera:

$N=mg\cos\theta-R\bigg(\dfrac{d\theta}{dt}\bigg)^2$

$N=mg\cos\theta-R(f'(t))^2$.

Para saber el $\theta$, en el que el balón sale de la superficie, vamos a escribir $N=0$. Y que los rendimientos de

$\theta=\cos^{-1} \bigg(\dfrac{R(f'(t))^2}{mg}\bigg)$

O, $f(t)=\cos^{-1} \bigg(\dfrac{R(f'(t))^2}{mg}\bigg)$

Esto es de nuevo una ecuación en $t$ y puede ser resuelto. Se nota que no es una ecuación diferencial. Porque la función de $f$ es conocido en los términos de $t$ y por lo tanto la ecuación es simplemente una ecuación en la $t$. Solución se va a dar el valor de tiempo en el que el balón sale de la esfera. Llame ese momento $t=T_k$.

Por lo tanto, el ángulo en el momento de salir de $\theta_k$$=$$f(T_k)$.

Answer 4

Como @dmckee dijo, debe usar coordenadas polares para este problema. Las ecuaciones de movimiento son los siguientes: ($\omega$ es la velocidad angular y el $\alpha$ es la aceleración angular) $$mg\cos \theta-N=mR\omega^2\;\tag 1$$ $$mg\sin \theta=mR\alpha\;\tag 2$$ De$(2)$, $\alpha=\large{\frac gR}\sin \theta$

Por otro lado, sabemos que: $$\alpha\mathrm d \theta=\omega\mathrm d\omega\;\tag3$$ Así, usted puede encontrar $\omega^2$ como una función de la $\theta$.

A continuación, puede utilizar la ecuación de $(1)$ para determinar el ángulo que forma el bloque pierde su contacto con la esfera. No es que, en ese ángulo, tenemos $N=0$

Una vez, a encontrar $\cos\theta_f$ ($\theta_f$ es el ángulo que forma el bloque pierde su contacto con la esfera), se puede encontrar La $h$ por esta fórmula: $\cos \theta_f= \large{\frac{R-h}R}$