Encontrar los valores máximo y mínimo de $\sin^2\theta+\sin^2\phi$ al $\theta+\phi=\alpha$

Question

Encontrar los valores máximo y mínimo de $\sin^2\theta+\sin^2\phi$ al $\theta+\phi=\alpha$(una constante).

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$\theta+\phi=\alpha\implies\phi=\alpha-\theta$
$\sin^2\theta+\sin^2\phi=\sin^2\theta+\sin^2(\alpha-\theta)$

Deje $f(\theta)=\sin^2\theta+\sin^2(\alpha-\theta)$
$f'(\theta)=2\sin\theta\cos\theta-2\sin(\alpha-\theta)\cos(\alpha-\theta)$
Poner a $f'(\theta)=0$ da $\sin2\theta=\sin2(\alpha-\theta)$
$2\theta=2\alpha-2\theta\implies \alpha=2\theta$

Si $\alpha=2\theta$, $\theta+\phi=\alpha$ da $\phi=\theta$

Estoy atrapado aquí,la respuesta dada es la máxima $1+\cos\alpha$ y mínimo de $1-\cos\alpha$.Pero he encontrado un solo valor crítico(al $\phi=\theta$) y que también no puedo decidir si va a dar el máximo o el valor mínimo.

Por favor, ayudar.

Answer 1

Escribir \begin{eqnarray} \sin^2 \phi + \sin^2 \theta &=& \sin^2 \phi + 1-\cos^2 \theta \\ &=& 1+(\sin \phi - \cos \theta) (\sin \phi + \cos \theta) \\ &=& 1+(\sin \phi - \sin ( { \pi \over 2} - \theta)) (\sin \phi + \sin ( { \pi \over 2} - \theta)) \\ &=& 1+4 \cos ({ \phi -\theta + { \pi \over 2}\over 2} ) \sin ({ \phi +\theta - { \pi \over 2}\over 2} ) \sin ({ \phi -\theta + { \pi \over 2}\over 2} ) \cos ({ \phi +\theta - { \pi \over 2}\over 2} ) \\ &=& 1+ \sin (\phi -\theta + { \pi \over 2}) \sin ( \phi +\theta - { \pi \over 2} ) \\ &=& 1 - \sin (\phi -\theta + { \pi \over 2}) \cos \alpha \end{eqnarray} Podemos optar $\phi -\theta$ a tienen valores arbitrarios, mientras que el mantenimiento la relación de $\phi+\theta = \alpha$, y por lo que la anterior puede ser escrita como $1-\sin t \cos \alpha$, que puede ser fácilmente extremized,