La normalización de un cociente del anillo del polinomio anillos (Reid, el Ejercicio 4.6)

Question

He resuelto todas las partes de Ejercicio 4.6 del libro de Pregrado Álgebra Conmutativa de miles Reid, excepto la última.

Deje $A=k[X]$ $f\in A$ tiene un factor de cuadrado, pero no es un cuadrado polinomio de sí mismo, entonces lo que será la normalización de $B=k[X,Y]/(Y^2-f)$ en términos de $f$?

¿Qué debo hacer para esta parte como yo no puede usar ninguna de parametrización.

Answer 1

(En el siguiente $x,y$ el valor del residuo de clases de $X,Y$ modulo el ideal $(Y^2-f)$.)

El campo de fracciones de $B$ $K=k(x,y)$ y cada elemento $t\in K$ puede ser escrito como $t=a+by$$a,b\in k(x)$. Obviamente $t$ es una raíz del polinomio $p_t(T)=T^2-2aT+a^2-b^2f$ que pertenece a $k(x)[T]$. Desde $x$ es algebraicamente independiente sobre $k$, por Gauss Lema podemos concluir que $t$ integral $A$ si y sólo si $p_t$ tiene los coeficientes en $k[x]$. Ahora suponemos $\operatorname{char}k\ne2$. A continuación, llegamos $p_t\in k[x][T]$ si y sólo si $a\in k[x]$$b^2f\in k[x]$. Si escribir $f=g^2h$ $h$ plaza libre que podemos obtener fácilmente la integral de cierre de $B$: $k[x]+k[x]\frac{y}{g}$.