¿Por qué no $\arccos x = -\tfrac12\sqrt{3}$ tiene alguna solución?

Question

Tengo este ejercicio con una clara respuesta. La pregunta es esta: $$\arccos x = -\frac{\sqrt3}{2}\,.$$

La respuesta es esta: $$\begin{gather*} \varphi(x)= \arccos x\\ V_\varphi = [0,\pi]\\ -\frac{\sqrt3}{2}\notin V_\varphi\,. \end{reunir*}$$

puede alguien esta un poco más a mí? ¿Cómo es que esto prueba que no hay soluciones?

Answer 1

Como un par de otros ya han señalado, $-\sqrt{3}/2$ simplemente no está en el rango de la arcocoseno. He aquí una explicación de por qué eso es cierto.

Aquí está la gráfica de la función coseno en el intervalo de $[-\pi,2\pi]$:

El problema es que esta función no es uno a uno. Como resultado, se debe restringir a un adecuado dominio en el que es uno-a-uno con el fin de hablar acerca de un restringido de la función inversa. Convencionalmente, el intervalo de $[0,\pi]$ es elegido, lo que produce algo como lo siguiente:

Ahora, la inversa de esta versión restringida del coseno es lo que conocemos como el arcocoseno y su gráfica se ve así:

Por supuesto, el dominio y el rango haber volteado - por lo tanto, $-\sqrt{3}/2$ (o cualquier otro número negativo) no está en el rango!

Answer 2

Dominio de $\arccos(x)$ $[-1,1]$ ( $\mathbb{R})$ , por lo que el rango de valores es $[0,\pi]$, pero $\frac{-\sqrt{3}}{2}<0$, por lo que no está en el rango.

Answer 3

Sugerencias:

¿Sabe usted que el rango de $f(x)=\arccos x$? No es $\Bbb R$.