Una integral extremadamente misteriosa: $\int_0^1 \frac{k \tan^{-1}(t)}{k^2 + t^2}\mathrm d t$

Question

$$f(n) = \int_0^1 \frac{n \tan^{-1}(t)}{n^2 + t^2}\mathrm d t \tag{n > 2}$$

Introducción: Esta es una de las integrales más hermosas y misteriosas que he encontrado. Es muy simple, pero la forma cerrada que he propuesto es una de las más extrañas que he visto.

Lo que sé: Todas las formas cerradas que da Mathematica tienen la siguiente forma:

$$\frac18 \big(\tan^{-1}(a_n)^2 - 4i \cot^{-1}(n) \log(b_n) + 2 i \tan^{-1}(a_n) \log(b_n) - 2 (\text{Li}_2(c_n - id_n) + \text{Li}_2(c_n + id_n)- \text{Li}_2(\frac{1}{b_n}) \big{)}$$

Bastante feo, lo sé. Pero la parte realmente sorprendente es lo que viene a continuación.

La Conjetura:

$$a_n= \frac{\left. \begin{cases} 2n & \text{n par} \\ n & \text{n impar } \end{cases} \right\}}{\text{lcm}(n+1,n-1)} \\ b_n= \frac{\left. \begin{cases} n+1 & \text{n par} \\ \frac{n+1}{2} & \text{n impar } \end{cases} \right\}}{\left. \begin{cases} \frac{n}{2} & \text{n par} \\ n & \text{n impar } \end{cases} \right\} \\} \\ c_n = \frac{\text{(n-1) * mayor factor primo de } n-1}{\text{mayor divisor impar de } n^2 + 1} $$ Y no tengo idea de qué podría ser $d_n$.

La conjetura se cumple al menos para los primeros 20 valores de n, así como para otros 20 valores aleatorios más altos de n, y creo que es demasiado simple para ser solo una coincidencia. Entonces, mis preguntas son:

1. ¿Qué es $d_n$?
2. ¿Cómo puedo probar o refutar esta conjetura?

Cualquier ayuda es apreciada, ¡gracias!

Answer 1

Te daré una idea de cómo resolver la integral

Empieza por

$$F(a) = \int_0^1 \frac{\tan^{-1}(at)}{n^2 + t^2}\,dt$$

Al diferenciar

$$F'(a) = \int_0^1 \frac{t}{(n^2 + t^2)((at)^2+1)}\,dt = \frac{\log(1+a^2)+ \log \left( \frac{n^2}{1+n^2}\right)}{(-2 + 2 a^2 n^2)}$$

Integra

$$\int_0^1 \frac{\tan^{-1}(t)}{n^2 + t^2}\,dt = \frac{1}{2}\int^1_0 \frac{\log(1+a^2)}{(an)^2-1}\,da+\frac{1}{2}\log \left( \frac{n^2}{1+n^2}\right)\int^1_0\frac{1}{(an)^2-1}\,da$$

Luego, la segunda integral es sencilla

$$\int_0^1 \frac{\tan^{-1}(t)}{n^2 + t^2}\,dt = \frac{1}{2}\int^1_0 \frac{\log(1+a^2)}{(an)^2-1}\,da-\frac{1}{2}\log \left( \frac{n^2}{1+n^2}\right)\frac{\tanh^{-1}(n)}{n}$$

Luego puedes usar las siguientes propiedades para la primera integral

$$\int^t_0 \frac{\log(1+ax)}{1-x}\, dx = -\log(1-x)\log(1+a)- \text{Li}_2 \left( \frac{a}{a+1} \right) +\text{Li}_2 \left(\frac{a-ax}{a+1}\right)$$

$$ \int^t_0 \frac{\log(1+ax)}{1+x}\, dx = - \text{Li}_2 \left( \frac{t}{t+1} \right) +\text{Li}_2 \left(\frac{t-ta}{t+1}\right)-\text{Li}_2(-at)$$

Nota que

$$\frac{\log(1+a^2)}{(an)^2-1} = \frac{\log(1+ix)+\log(1-ix)}{(an-1)(an+1)}$$