Natural isomorphisms de los desmemoriados functor

Question

Deje $U: \mathbf{Groups} \rightarrow \mathbf{Sets}$ ser el olvidadizo functor. Debe cada transformación natural $\eta: U \rightarrow U$ natural isomorfismo?

Answer 1

Desde $U$ está representado por $(\mathbb{Z},+)$, tenemos (por Yoneda) $\hom(U,U) \cong U(\mathbb{Z},+)=\mathbb{Z}$. Si $z$ es un número entero, la correspondiente transformación natural $U \to U$ está dado por $U(G) \to U(G),~g \mapsto g^z$ grupos $G$. A partir de esto se puede comprobar que en realidad tenemos un isomorfismo de monoids $(\hom(U,U),\circ) \cong (\mathbb{Z},*)$. Dado que la única invertible elementos de $(\mathbb{Z},*)$$\pm 1$, hay un montón de transformaciones naturales que no son isomorphisms, por ejemplo,$g \mapsto g^2$.