Cómo puedo demostrar que la inversa de la matriz, M, a continuación tiene todos los elementos de mayor que o igual a 0?

Question

$M= \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 & ... & 0 & -\nu \\ -\nu & 1 & \nu & 0 & ... & 0 \\ 0 & -\nu & 1 & \nu & ... & 0 \\ 0 & 0 & -\nu & 1 & \nu.. & 0 \\ .& & .& .& .& \\ \nu & 0 & ... & 0 & -\nu & 1 \\ \end{bmatrix} $

Se trata básicamente de un Circulantes de la matriz.

Cómo puedo demostrar que la inversa de esta matriz tendrá todo positivo entradas. Por lo que las condiciones de $\nu$ va a ser un no-negativo de la matriz ?

Answer 1

(Se necesita demasiado espacio para ser un comentario, por lo que una respuesta es)

Como en el caso de todas las matrices circulantes puede encontrar la inversa mediante el uso de la transformada de Fourier discreta. Los vectores propios de la $N\times N$ versión $M(N,\nu)$ de su matriz se $(1,\zeta^j,\zeta^{2j},\ldots,\zeta^{(N_1)j})^T$ donde $j=0,1,\ldots,N-1,$ $\zeta=e^{2\pi i/N}$ y $$ M(N,\nu)x_j=\lambda_jx_j,\qquad \lambda_j=(1-2i\nu\sin\frac{2\pi j}N). $$ El inverso $M(n,\nu)^{-1}$ es, entonces, el circulantes de la matriz con los coeficientes de recibido de la IDFT de $(1/\lambda_0,1/\lambda_1,\ldots,1/\lambda_{N-1})$.

Pero antes de tratar de calcular que vamos a probar algunos de los casos. Set $N=4$. Also sprach Mathematica: $$ (1+4\nu^2)M(4,\nu)^{-1}= \left(\begin{array}{cccc} 1+2\nu^2&-\nu&2\nu^2&\nu\\ \nu&1+2\nu^2&-\nu&2\nu^2\\ 2\nu^2&\nu&1+2\nu^2&-\nu\\ -\nu&2\nu^2&\nu&1+2\nu^2 \end{array}\right) $$ Tanto en $\nu$ $-\nu$ aparecen como coeficientes, así que no veo una manera de hacer que todas las entradas positivas aquí.

Por favor, compruebe la pregunta.

Answer 2

Una rápida observación: cuando el tamaño de la $N$ de la matriz es, incluso, $M^{-1}$ puede nunca ser entrywise positivo.

Como se señaló en la otra respuesta, los autovalores de a $M$ $\lambda_k=1-2iv\sin\frac{2\pi k}{N}$ donde $k=0,1,\ldots,\,N-1$. Por lo tanto, cuando se $N$ es incluso, $\lambda_0=\lambda_{N/2}=1$ es el único autovalor de ambos $M$ $M^{-1}$ y tiene multiplicidad $2$. Sin embargo, por Perron-Frobenius teorema, si $M^{-1}$ es positivo, debe poseer una simple autovalor real (es decir, el radio espectral $\rho(M^{-1})$).