Proporción de elementos de primer orden $p$ $S_n$

Question

Yo estaba tratando de responder a la siguiente pregunta: ¿Cuál es la proporción de elementos de orden $p$ en el grupo simétrico $S_n$ donde $p$ es algún número primo ?

He conseguido el trabajo que, en general, el número de elementos de orden $p$ $S_n$ es:

$ n \choose p $$(p-1)! +$$\displaystyle \sum_{k=2}^{[\frac{n}{p}]} \frac{n!}{k!p^k}$

Donde $[x]$ es el mayor entero menor o igual a $x$.

El uso de este, así como la serie de Taylor en$x=0$$\large e^{\frac{1}{p}}$, yo era capaz de determinar que la proporción de elementos de orden $p$ $S_n$ $n \to \infty$ es:

$\displaystyle \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k!p^k} = \large e^{\frac{1}{p}} - \small \frac{p+1}{p}$

Me preguntaba ¿qué significado, si lo hay, - se siente un poco similar al resultado que indica que el límite de la razón del número de alteraciones de $n$ elementos de a$n!$$\frac{1}{e}$, pero es cierto que no entiendo bien el significado de este resultado.

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Gracias!

Answer 1

Hay una conocida fórmula para la generación de la función de la proporción de elementos de orden $1$ o $p$$S_n$, es decir, la proporción de $g$ $S_n$ que satisfacer $g^p = 1$. Dejando $c_n$ el número de este tipo de soluciones, con la convención que $c_0 = 1$, la generación de la función es $$ \sum_{n\geq 0} \frac{c_n}{n!}x^n = e^{x+x^p/p}. $$ En particular, dado que esta serie converge en $x=1$, la proporción $c_n/n!$ tiende a $0$, por lo que están cometiendo un error cuando dices que la proporción tiene un resultado positivo de límite como $n\rightarrow \infty$.

Contar el número de elementos de orden $1$ o $p$ $S_n$ es lo mismo que contar homomorphisms de$\mathbf Z/(p)$$S_n$. De manera más general, para cualquier grupo finito $G$ hemos $$ \sum_{n\geq 0} \frac{\#{\rm Hom}(G,S_n)}{n!}x^n = e^{\sum_{H\subconjunto G} x^{[G:H]}/[G:H]}, $$ donde se realiza la convención que $S_0$ es trivial y la suma en el exponente de la derecha ejecuta a través de todos los subgrupos $H$$G$. Tomando $G= \mathbf Z/(p)$ recupera la primera fórmula. Esta fórmula se remonta a Wohlfahrt. Si buscas en google "wohlfahrt grupo fórmula" usted encontrará referencias a trabajos relacionados.