Necesito ayuda con el siguiente problema:
Deje $f_1,\dots,f_k\in \mathbb{Z}[X_1,\dots,X_n]$ ser polinomios sin ningún comunes cero en $\mathbb{C}^n$. Luego hay $g_1,\dots,g_k\in \mathbb{Z}[X_1,\dots,X_n]$ s.t. $\sum_1^kg_if_i\in\mathbb{Z}-\{0\}$.
Lo que tengo es el siguiente:
Deje $k$ ser una expresión algebraica cierre de $\mathbb{Q}$. Considerar el ideal de $\mathfrak{a}=(f_1,\dots,f_k)\subset k[X_1,\dots,X_n]$. Ya que cada apropiado ideal $I$ está contenida en algunos máxima ideal y hay una natural bijection entre el $Z(I)$ $\operatorname{MaxSpec}(k[X_1,\dots,X_n])\cap V(I)$ $Z(\mathfrak{a})=\emptyset$ se sigue que $\mathfrak{a}=(1)$. Así que hay $g_i\in k[X_1,\dots,X_n]$ s.t. $\sum_1^kg_if_i=1$. Ahora quiero demostrar que el $g_i$ residen en $\mathbb{Q}$, de modo que puedo multiplicar a través de con el denominador común. Deje $L$ ser finito y extensión normal de $\mathbb{Q}$ que contiene los coeficientes de las $g_i$. Si $\sigma$ es cualquier elemento de $\operatorname{Gal}(L/\mathbb{Q})$ $$\sum_{i=1}^kg_i^\sigma f_i=\sum_{i=1}^kg_i^\sigma f_i^\sigma=(\sum_{i=1}^kg_if_i)^\sigma=1=\sum_{i=1}^kg_if_i$$ I would like to conclude from this that $g_i=g_i^\sigma$ and that therefore we have $g_i \in \mathbb{Q}$, pero no estoy seguro de si esto está bien.
Agradecería cualquier ayuda y sugerencias :)
