Tannakian Formalismo

Question

El Tannakian formalismo dice que usted puede recuperar un complejo algebraica de grupo de su categoría de finito dimensionales de las representaciones, el tensor de la estructura, y el olvido functor a Vect. Intuitivamente, ¿por qué debería ser suficiente información para recuperar el grupo? Y que hace este trabajo para otros campos (o anillos?)?

Answer 1

Un muy bonito y muy general la versión de Tannakian formalismo es en Jacob Lurie de papel, Tannaka dualidad geométrica de las pilas, arXiv:matemáticas/0412266.

Me gusta pensar en Tannaka la dualidad, como la recuperación de un esquema o de pila de su categoría coherente (o quasicoherent) poleas, considerado como un tensor de categoría. Desde este punto de VISTA la intuición es bastante clara: tener un fiel fibra functor a Vect (o, más generalmente, a los R-módulos), significa que la pila está cubierto (en el plano de sentido) por un punto (o por Spec R). Esta es la razón por la que usted consigue (si tienes más de una alg campo cerrado) que tener un fiel fibra functor a Vect_k significa que usted está gavillas en el cociente BG de un punto por un grupo de G, es decir, Rep G.. a Través de una más general, que sólo localmente ver como un cociente de Spec R (o Spec k para k no alg cerrado) por un grupo de ---- es decir, usted es un BG-paquete de más de Especificación de R, también conocido como un G-gerbe. De manera más general, el tipo de Tannakian teorema de Jacob explica básicamente dice que cualquier pila con afín diagonal puede ser recuperado de su tensor de la categoría de quasicoherent poleas..

En realidad la construcción de la pila desde el tensor de la categoría es sólo una versión de la habitual functor Especificación de los anillos de los esquemas. Hay que recordar que como un functor, Spec R (k) = homomorphisms de R a k. Por lo tanto, dado un tensor de la categoría C que vamos a definir Spec C, ya que el pila con functor de puntos Spec C(k) = tensor de functors de la C a la k-módulos (de cualquier anillo de k, o álgebra sobre el campo de tierra, etc). El Tannakian teoremas, a continuación, decir para X razonable (es decir, un quasicompact pila con afín diagonal), tenemos X= Spec Quasicoh(X) --- de manera que X es "afín en un quasicoherent-gavilla de sentido". De nuevo, la costumbre Tannakian historia es el caso de X=BG o más generalmente un G-gerbe.

Answer 2

Esto no responde a su pregunta directamente, pero creo que explica por qué tales teoremas existe: si su noción de "representaciones" de algunos algebraicas gadget son insuficientes para reconstruir el gadget de la 'colección' de representaciones, entonces es mejor ir a pensar mejor "representaciones"! Me refiero a que esta bastante flojo, así que por ejemplo estoy afirmando que el pensamiento acerca de las representaciones de los complejos algebraicas grupos sin pensar acerca de cómo se tensor sería cojo.

Esta por ejemplo es la razón por la "teoría de la representación de un subfactor N < M" es todo acerca de la bimodules entre N y M.

El olvidadizo functor a Vect no creo que de como lo esencial y permite construir el original gadget en la categoría que esperan, pero si usted no tiene esta función no debe impedir que usted creer que hay un "gaget objeto" en alguna otra categoría.

Answer 3

No estoy seguro de cómo responder a la pregunta acerca de la intuición. En lo que respecta a su segunda pregunta, la Tannakian formalismo funciona en cualquier campo y, de hecho, funciona categorías más generales de la Rep(G). Una categoría C es llamado neutro Tannakian categoría sobre k (k un campo) si se trata de una rígida abelian tensor de la categoría junto con un k-lineal tensor functor exacto de la C a la k-Vect. Este último functor es conocida como la fibra functor (y es sólo el olvidadizo functor que se hace referencia en el post original cuando C = Rep(G)). En este caso, hay un teorema que dice que cualquier neutral Tannakian categoría es equivalente a la categoría de las representaciones de una afín esquema de grupo G, donde G es la dada por el tensor de automorfismos de la fibra functor.

Uno de los originales de referencia para esta es una 1982 papel por Deligne y Milne, titulado 'Tannkian Categorías.' Deligne también tiene un artículo en la más reciente FGA explicó.

Mi entendimiento es que a veces k pueden ser reemplazados por cualquier anillo conmutativo. No sé condiciones generales en las que esta tiene. Sin embargo, un gran ejemplo de la Tannakian formalismo en la acción donde k es un general conmutativa anillo es el Mirkovic-Vilonen papel en el mantenimiento de Satake correspondencia, que resultan en gran generalidad (Ginzburg también tiene un buen artículo sobre este tema, pero sólo en característica cero). El Mirkovic-Vilonen de papel se puede encontrar aquí http://arxiv.org/abs/math/0401222

En este trabajo, demuestran que su fibra functor es representado por un k-módulo que es gratuita sobre k (k cualquier anillo conmutativo aquí) y, por tanto, la Tannakian formalismo todavía funciona. No sé si esta condición es también una condición necesaria.

Hay también una versión de la Tannakian formalismo más de un esquema, por así decirlo. Si vemos un grupo G como una entidad de G-paquete en un punto y la categoría de espacios vectoriales como la categoría de vector de paquetes en un punto, entonces podemos tratar de generalizar a un esquema. Es decir, si fijamos un G-haz un esquema de X, entonces esto induce una exacta tensor functor de Rep(G) a la categoría de vector haces en X con el asociado paquete de construcción. Resulta que a la inversa se tiene: dada una exacta tensor functor de Rep(G) para el vector de paquetes en X, esto es equivalente a dar un G-paquete X. Hay una prueba de este hecho en una serie de notas en la página web del seminario que Dennis Gaitsgory se está ejecutando actualmente.

Answer 4

Hace algún tiempo yo también estaba perplejo por esta misma pregunta, y sólo ahora, después de ver el tuyo, empiezo a pensar que tal vez me entiendan la idea. Estos son mis propios pensamientos, así que te animo a que vuelva a comprobar.

Considerar para la simplicidad de un afín algebraica de grupo (en el lado opuesto sería un complejo compacto). Entonces sabemos que el regular representación k[G] (respectivamente, L²(G)) debe descomponer como \sum R^*\otimes R.

Ahora lo hace a sabiendas de todo el conjunto del tensor de la categoría de la representación implica? Esto significa que podemos reconstruir el espacio k[G] como G-representación mediante la fórmula anterior, por lo que sabemos de las funciones en G! El multiplicatication de funciones en G debe ser incorporado en el producto anterior, aunque no puedo sin embargo, la figura exactamente cómo.

E. g. para un lineales grupo G hay alguna representación, V que contiene funciones lineales. A continuación, funciones de la forma x^n pueden ser obtenidos hasta conjugacy, como el más alto de los vectores en V\otimes ... \otimes V, tomada n de veces.

Por la correspondencia entre funciones y espacios, esto nos permitiría reconstruir el espacio original de grupo G. Ahora la acción en el espacio de funciones se traduce en la acción de la G.

Entonces, yo creo que si en este camino uno trata de definir cuál es el punto de G es, uno podría llegar exactamente a la definición de la misma como los automorfismos de la fibra functor, la forma en la Tannakian formalismo.

Me pregunto si alguien podría dar una referencia a un texto explicando este punto de vista?