No he tomado Calculas todavía, pero veo que el uso del límite (próximo a cero o infinito) en otras clases, tales como la física.
Yo sólo quería un poco de explicación intuitiva del límite.
Yo estaba pensando que, en teoría, el infinito o cero tendría sentido, pero cuando tenemos problemas en el mundo real, siempre hay algún tipo de limitación, que es por qué tenemos que usar estas cosas. Es esta comprensión de la mina correcta?
Como has estudiado física, me daré un ejemplo de ello. Por ejemplo, la velocidad de un objeto es:
$$ v = \frac{\Delta x}{\Delta t} $$
Pero en muchos casos, usted desea que la velocidad en un determinado momento del tiempo, es decir, el objeto de la velocidad. Para hacer esto, usted tiene que hacer t muy, muy pequeña. Tan pequeño, approaces 0. Aquí viene el límite. En realidad, la velocidad instantánea se define como un derivado:
$$ v = \frac{dx}{dt} = \lim_{t \to 0} \frac{f(t) - f(0)}{t-0} $$
Si f(t) da el espacio en el momento t, entonces que es igual a:
$$ v = \lim_{t \to 0} \frac{f(t) - f(0)}{t-0} $$
Esta es una aplicación de límites. En realidad, los límites son la base para el cálculo. Ellos no son tan utilizados directamente en la práctica (por la práctica me refiero a otras materias, como la física), pero los conceptos que se definen con ellos (bastante de cálculo entera) son ampliamente utilizados.
Entre otros muchos usos, límites nos permiten formalizar la idea de que podemos calcular ciertas expresiones en lugar de computación en una secuencia de aproximaciones que, cuando iterada o refinado, nos acercan a la que realmente deseo. El cálculo de instantánea velocidades mencionado en otra respuesta es un ejemplo de eso.
Otra simple, pero muy útil ejemplo, es el método de Newton para aproximar las soluciones de las ecuaciones de la forma $f(x)=0$. El método general requiere de la noción de derivada, pero ya se puede ver la utilidad en un caso particular: Para calcular los $\sqrt k$, para un entero $k$ que no es ya un cuadrado, comienza con una suposición, llame a $x_0$. El método que te permite refinar su conjetura, la búsqueda de nuevas aproximaciones, llamarlos $x_1,x_2,x_3$, y así sucesivamente, por la fórmula $$ x_{n+1}= \frac{x_n}2+\frac{k}{2x_n}. $$ Por ejemplo, decir $k=2$, por lo que queremos calcular $\sqrt2$. Partimos de una suposición, decir $\sqrt2$ es un poco más grande que el $1$, así que vamos a $x_0=1$. A continuación, el método nos da $$ \begin{array}{rl} x_1&=1.5\\ x_2&\approx1.41667\\ x_3&\approx1.41422\\ x_4&\approx1.41421, \end{array} $$ que ya es correcta hasta el número de dígitos que se muestran. El método es realmente muy eficaz. No podemos de "calcular" $\sqrt2$ exactamente, ya que es un número irracional, pero este proceso nos permite recuperar el número de dígitos que queramos, con el mínimo esfuerzo. Las aproximaciones que hemos de obtener más y más a $\sqrt2$, y "en el límite", le habría recuperado su valor exacto.
Un ejemplo clave, de importancia histórica, es el cálculo de áreas. Este fue uno de los problemas que llevaron a la creación de cálculo. La manera de Arquímedes trató de calcular áreas por el método de agotamiento. Para calcular, por ejemplo, el área de un círculo (lo que es equivalente, para encontrar el valor de $\pi$), podemos aproximar el círculo con un inscritos y un polígono circunscrito. El interior tiene menor área que el círculo y el exterior de uno de los más grandes de la zona. Al aumentar el número de lados, podemos acercarnos más y más a la verdad, tanto con los más pequeños y con grandes números. El verdadero valor de la zona es el límite de este proceso. (Arquímedes en realidad duplicado el número de lados de cada vez, comenzando con hexágonos. Su trabajo muestra que $$ 3\frac{10}{71}\approx3.1408<\pi<3\frac17\approx 3.1429. $$ Al aumentar el número de lados, más allá de lo que Arquímedes hizo, podemos llegar tan cerca de $\pi$ que queramos. Por supuesto, hoy en día tenemos muchos otros métodos para calcular $\pi$, todo a base de una u otra manera en el concepto de límites.)
El cálculo de áreas y volúmenes de cifras arbitrarias requiere que los límites de una forma esencial. En realidad, nosotros no necesitamos ver extrañas o complicadas figuras. La conocida fórmula para el volumen de una pirámide, $$ V=\frac13bh, $$ where $b$ is the area of the base and $h$ es la altura, no puede ser establecida con precisión sin un proceso de límite. (Esto es un poco sorprendente; para calcular el área de un polígono, no importa lo complicado, podemos cortarlo en trozos pequeños y volver a montar en un cuadrado. Nada de eso es posible para un general de la pirámide. El uso de límites es inevitable aquí.)
Conceptualmente, un límite de captura el espíritu de científicos de medición.
En las ciencias físicas, le había concedido hace tiempo que la medición perfecta no son posibles. Cada regla tiene algún defecto. Pero dado que cualquier gobernante, siempre podemos hacer una más precisa.
La igualdad de las matemáticas es extremadamente rígido condición. Y porque de lo que hemos dicho anteriormente, no podemos esperar para hacer un buen uso de igualdad en contextos físicos.
Los límites nos dan la mejor cosa siguiente.
Podríamos establecer, no para medir algo exactamente, pero a medida que a un cierto grado de precisión. Nos damos a nosotros mismos una cierta tolerancia a errores (ε).
Si nuestro error tolerancia nos da un muy escaso margen de error (por muy pequeño ε), no podemos medir con cualquier gobernante; necesitamos un muy buen gobernante. Así que el diseño de un gobernante con un cierto nivel de precisión (δ). También tenemos el lujo, como los experimentadores, que si se nos pregunta por nuestros compañeros para medir dentro de un cierto margen de error, podemos improvisar la regla para este propósito. (Que es δ puede ser definido en términos de ε).
El uso de este exacta de la regla, que son capaces de tomar mediciones precisas dentro del margen deseado de error. Y la noción de límite es que siempre somos capaces de hacer esto, no importa lo pequeño que nuestro margen.
Esto nos da la idea que hay detrás de los llamados ε-δ definiciones de límites, continuidad y derivadas. También está relacionado con el límite de una secuencia o de una serie (estos son los casos discretos, donde δ es un número entero positivo en lugar de un real positivo).
Secuencias:
Se aproxima un número real $a$:
$\forall ε>0$, $\exists N\in \Bbb N:|x_n-x|<ε$, $\forall n\geq N$.
Aquí tenemos un conjunto discreto {$x_n$}. Tenemos que $x_n$ ,después de $N$, va muy cerca de la $x$.Tan cerca,que si te la cada pequeño número $ε>0$, entonces la diferencia de $|x_n-x|<ε$.
Ejemplo:$x_n=\frac {1}{n}$.Entonces $x_n\to 0$.{$x_n$}={$1,1/2,1/3,...1/1000,...$} y como se puede ver se pone demasiado cerca de $0$.
Aproxima a infinito:
$\forall ε>0$, $\exists N\in \Bbb N:x_n>ε$ $\forall n\geq N$.
Esto significa que $x_n$ se hace muy grande y si usted encuentra un $N$ adecuado, a continuación,$x_n>ε$ ,$\forall n\geq N$.
Ejemplo:$x_n=n$. Entonces {$x_n$}={$1,2,3,....,10000000,....$}.
Funciones:
Se aproxima un número real $a$ con límite igual a un número real $b$:
$\lim_{x\to a} f(x)=b<=>\forall ε>0$ ,$\exists δ>0:0<|x-a|<δ=>|f(x)-b|<ε$.
Esto significa que para llegar a $a$, necesitamos un puente de otros números cercanos a $a$ y la más interesante, es que $a$ no nos molesta. Nosotros no lo necesitamos.Sólo necesitamos el puente. Por eso $0<|x-a|$.
Ahora que tenemos el puente en mente,creemos que de alguna manera como las secuencias y hemos terminado.Aquí las cosas no son necesariamente discreto.
Se aproxima un número real $a$ con límite infinito:
Aquí nos approache $a$ como antes,pero cerca de $a$ obtenemos un valor muy grande de $f(x)$.
Ejemplo:$f(x)=\frac {1}{x}$. Cerca de $0$ obtenemos números muy grandes,($\lim_{x\to 0} f(x)=+\infty$)
Se aproxima el infinito con límite igual a un número real $b$:
Mismo pensamiento como con las secuencias.
Se aproxima el infinito con límite infinito:
Mismo pensamiento como con las secuencias.
En el mundo real,creo que como ejemplos de estos:
Secuencias:
Veces continuamente en dos un papel con la forma cuadrada de arista igual a $1$.A continuación, puede crear la secuencia de $x_n=\frac {1}{2^n}$ que representa el área de la rectangular en cada paso. Tenemos que $x_n\to 0$?
Funciones:
Así,cada secuencia es una función ,$x_n\sim x(n)$.
Antes de que el límite está definido que puede tener un maestro agitando sus brazos alrededor de la pregunta "¿puedes ver lo que sucede en el límite?" Es realmente frustrante si no se "vea" como el maestro sólo puede tirar de una cara o a dar otro ejemplo. Supongamos que el profesor quiere que "ver" el límite de $1/x$ $x$ tiende a infinito. Usted podría decir "OK veo $1/x$ se aproxima a cero, y va a llegar tan cerca como usted igual a cero, pero en realidad nunca llega a cero, de modo que ¿qué quiere decir que algo "happening" en el límite"?"
Y entonces por fin alguien (por ejemplo, Paul92 o Dimitris) define lo que significa "en el límite", y es genial. Resulta que nada de lo que "sucede" en el límite. Lo que quieren decir es que si hay algún número que está tan cerca como le gusta a el valor de la función si $x$ es lo suficientemente cerca como para $a$, entonces vamos a llamar a ese número "el límite de la función en $x$ tiende a $a$".
Y si hay algún número que está tan cerca como le gusta a el valor de la función si $x$ es lo suficientemente grande y positivo, entonces vamos a llamar a ese número "el límite de $x$ tiende a infinito".
E. g. para una lo suficientemente grande $x$, $1/x$ está tan cerca como te gusta a 0 (y no tan cerca como le gusta a otra cosa), así que vamos a describir el hecho diciendo que 0 es el límite de $1/x$ $x$ tiende a infinito.
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