$\pm$ $y=\arcsin\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$

Question

Si: $$y=\arcsin\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$$ Entonces: $$\sin(y)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$$ $$\cos^2(y)=1-\sin^2(y)=\frac{1}{1+x^2}$$ $$ \tan^2(y)=\sec^2(y)-1=1+x^2-1=x^2$$ Por lo tanto, yo diría: $$\tan(y)=\pm x$$ Sin embargo, mi cálculo que dice el libro (sin el $\pm$): $$\tan(y)=x$$

Pregunta: ¿por Qué podemos quitar el $\pm$?

Answer 1

El signo de $\tan(\theta)$ no se determina únicamente a partir de una ecuación $\sin(\theta) = a$, que tiene dos soluciones con signos opuestos por la tangente. En virtud de cualquier convenio para la elección de uno de los dos $\theta$'s como el valor de $\arcsin(a)$, la tangente es determinada únicamente. La convención en consonancia con lo que usted escribió es $\arcsin \in (-\pi/2, \pi/2]$

Answer 2

Podemos deshacernos de la $\pm$ signo porque en $y=\arcsin\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$, $x$ y $y$ a tienen el mismo signo: Para $-\pi/2 < y\le\pi/2$ si $x$ es positivo, $y$ es positivo, entonces también se $\tan(y)$ es positivo. Si $x$ es negativa, entonces la $y$ es negativa, entonces la $\tan(y)$ es negativo.

Por lo tanto, si $ \tan^2(y)=x^2$ $ \tan(y)=x$