Espectáculo $f(z)$ puede ser analíticamente continuado y $F(z+4)=F(z)$ resultante de la función

Question

Estoy trabajando en un pasado de examen de calificación de los problemas en el análisis complejo y estoy bastante pegado en esto:

Deje $f(z)$ ser analítico en $\{z\in\mathbb{C}\,:\,|\text{Re }z|<1\}$ y continua en el cierre de ese dominio. Supongamos que $f(z)$ es real en las líneas de $\text{Re }z=\pm 1$. Demostrar que, a continuación, $f(z)$ puede ser analíticamente siguió todo el avión y que el resultado de la función satisface $F(z+4)=F(z)$ todos los $z\in\mathbb{C}$.

Aquí están mis pensamientos:

• el problema es claramente (creo), llamando a la Reflexión Schwarz Principio pero no acabo de ver cómo la $F(z+4)=F(z)$ sale. Supongo que tendrá que hacer, ya que puede ser infinitamente refleja la izquierda y la derecha en todo el plano,
• Con mi comprensión de la Schwarz reflexión principio, creo $f$ extendería a $\{z\in\mathbb{C}\,:\,-1<\text{Re }z<3\}$ $\overline{F(\overline{1-z}+1)}=F(z)$ (desde $z\mapsto \overline{1-z}+1$ es la reflexión acerca de la línea de $\text{Re }z=1$ $z\mapsto\overline{z}$ es lo habitual en la reflexión sobre el eje real)

TL;DR entiendo cómo puede ser analíticamente siguió toda una función, no sólo de que el resultado de la función satisface $F(z+4)=F(z)$. Cualquier ayuda es muy apreciada. Gracias de antemano.

Answer 1

Tienes razón que el Schwarz reflexión principio es aplicable aquí. Empezamos con $f$ analítica en la franja de gaza $\{-1<\operatorname{Re} z<1\}$ y, a continuación, comenzando por el lado derecho, nos "flip" $f$ más acerca de la línea de $\operatorname{Re}z=1$. Es decir, definimos $f$ analíticamente en $\{1\leq\operatorname{Re}z\leq3\}$ $f(z)=\overline{f(\overline{1-z}+1)}$ como se señaló. Una bonita propiedad de este "tirón" es que terminamos con los mismos valores en $\operatorname{Re}z=3$$\operatorname{Re}z=-1$: $$ f(3+bi)=\overline{f(2-\overline{3+bi})}=\overline{f(-1+bi)}=f(-1+bi)$$ desde $f$ es un valor real en $\{\operatorname{Re}z=-1\}$. Ahora tenemos una analítica de extensión de $f$$\{-1\leq\operatorname{Re}z\leq 3\}$, e $f$ toma los mismos valores en el límite de las líneas. Por lo tanto, podemos a partir de aquí se extienden $f$ periódicamente a toda una función de la definición de $f(z+4)=f(z)$; esta extensión está bien definido desde $f(z+4)=f(z)$ en las líneas de límite, analítica fuera de las líneas $\{\operatorname{Re}z=4n-1:n\in\mathbb{Z}\}$ por inducción, y continua en las fronteras, así Morera del teorema muestra que $f$ es una función completa. Este tipo de procedimiento puede también ser utilizado para ampliar Jacobi de la función elíptica $\operatorname{sn}(z)$, la inversa de la integral elíptica $$ \int_0^z\frac{d\zeta}{\sqrt{({1-\zeta^2})({1-k^2\zeta^2})}},$$ to a doubly periodic meromorphic function in $\mathbb{C}$.