Módulo de Continuidad

Question

Deje $\rho(t)$ ser una función en el conjunto $\mathbb{R}^+$ de los números reales no negativos tales que:

• $\rho$ es no decreciente (y continua - gracias por la corrección)
• $\rho(t) = 0$ si y sólo si $t = 0$

Deje $X$ ser un espacio métrico y deje $f$ ser una verdadera valores de la función en $X$. Decir que $f$ ha módulo de continuidad $\rho$ si $|f(x) - f(y)| \leq \rho(d(x,y))$ por cada $x$$y$$X$. Por ejemplo, una función de Lipschitz si y sólo si tiene el módulo de continuidad $Ct$ para algún número real positivo $C$. Observar que una función de módulo de continuidad $\rho$ es necesariamente continua.

Pregunta: Si $X$ es un espacio métrico compacto, sin puntos aislados, es cierto que el conjunto de todas las funciones con el módulo de continuidad $\rho$ es denso en ninguna parte (es decir, su cierre no contiene ningún conjunto abierto) en $C(X)$ equipada con el supremum de la norma?

Soy una TA en una clase en la que se afirmó que la respuesta es sí, pero no estoy de creer por completo la prueba dado y me parece que no puede encontrar un buen argumento, excepto en casos especiales. Por ejemplo, uno puede mostrar que el conjunto de todas las funciones de Lipschitz en $[0,1]$ con constante de Lipschitz $C$ es denso en ninguna parte en $C[0,1]$ mediante la existencia de un modelo lineal por tramos funciones de arbitrariamente pequeño norma cuya lineal de todas las piezas tienen pendiente mayor que $C$ (o menor que-C). Así que la idea general $X$ debe ser para la construcción de funciones continuas de arbitrariamente pequeño norma con arbitrariamente rápida oscilación, pero no veo cómo hacerlo.

Gracias!

Answer 1

Deje $C^\rho(X,x_0)$ el conjunto de funciones continuas $X\to \mathbb R$ con el módulo de continuidad $\rho$$x_0$.

La observación (1): $C^\rho(X,x_0)$ es cerrado en $C(X)$. Si $f$ es en el cierre, entonces: $$|f(x_0)-f(x)|\leq|f(x_0)-g(x_0)| + |g(x_0)-g(x)| + |g(x)-f(x)|\leq \rho(d(x_0,x)) + 2\sup_{z\in X} |f(z)-g(z)|$$

Donde $g\in C^\rho(X,x_0)$ Pero podemos hacer $\sup_{z\in X} |f(z)-g(z)|$ ser arbitrariamente pequeño desde $f$ es en el cierre, por lo $|f(x_0)-f(x)|\leq \rho(d(x_0,x))$.

Observación (2): Si $f,g\in C^\rho(X,x_0)$,$f-g\in C^{2\rho}(X,x_0)$. Esto es fácil de ver.

Así que, si, para cada $\epsilon>0$, podemos encontrar una $h\in C(X)$ tal que $|h(x)|<\epsilon$ todos los $x\in X$$h \notin C^{2\rho}(X,x_0)$, entonces usted está hecho, porque para cualquier $f\in C^\rho(X,x_0)$, $f+h\notin C^\rho(X,x_0)$, y, por tanto, $C^\rho(X,x_0)$ es denso en ninguna parte en $C(X)$.

Dado $\epsilon>0$, podemos elegir una $x_1\neq x_0$, de modo que $4\rho(d(x_0,x_1))<\epsilon$. Puede encontrar la $x_1$ desde $x_0$ no es un punto aislado y $\rho(t)\to 0$$t\to 0$. Definir $\delta=d(x_0,x_1)>0$.

Definir $\phi(t)=\frac{\epsilon}{2}(1-\frac{t}{\delta})$ si $t\leq \delta$ $\phi(t)=0$ si $t>\delta$. A continuación, $h(x)=\phi(d(x_0,x))$ tiene la propiedad de que $|h(x)|<\epsilon$, $h(x_0)=\frac{\epsilon}2$, y $h(x_1)=0$. Por lo $|h(x_0)-h(x_1)|=\frac{\epsilon}2>2\rho(d(x_0,x_1))$. Por lo $h(x)\notin C^{2\rho}(X,x_0)$

Answer 2

• Cómo construir enormemente oscilante funciones con pequeñas normas uniformes :

bueno, en este caso sólo se necesita una rápida oscilación "en un punto", junto con la arbitraria pequeño norma.

Elegir 2 puntos $a$$b$$X$$d(a,b)< \epsilon$. Es posible que desde $X$ no tiene puntos aislados. Por Urysohn del lema no es una función continua $h : X \rightarrow [0,1]$ tal que $h(a)=1$$h(b)=0$. Ahora vamos a $g$ ser la función continua en $X$ definido por $g(x)=\alpha h(x)$, e $f$ tal que $f$ admite $\rho$ como un módulo. Para $\alpha$ arbitrariamente pequeño, $f+g$ pertenece a $B(f,\alpha)$ pero para $\epsilon$ lo suficientemente pequeño que no admiten $\rho$ como una continuidad del módulo.