Intuitiva de los resultados con los no-intuitivo pruebas?

Question

Hay teoremas matemáticos que sonar trivial y son, obviamente, cierto, pero son realmente difíciles de rigor a mostrar?

Por ejemplo, me topé con esta pregunta. El autor se pregunta cómo muestran que dos de continuas curvas que conectan los puntos de $(0,0)$ $(1,1)$ $(0,1)$ $(1,0)$ siempre tienen una intersección (las curvas están restringidos a $[0,1]\times[0,1]$). Le pregunté a un par de personas y todos estuvieron de acuerdo en que es evidente que es verdadero de un geométricas punto de vista, pero la prueba real es realmente difícil (especialmente si no se utiliza la topología). Esto me sorprendió y también me asustó un poco, porque pensé que trivial teoremas siempre han trivial pruebas (de lo contrario sería difícil aprender matemáticas). Hay más ejemplos similares o incluso más fuertes que otros?

Answer 1

El teorema no es trivial. Todo lo que se cuelga en el hecho de que la matemática precisa definición de "continuo" es extraordinariamente amplio, es lo que permite a las curvas más extraño y más mal comportamiento de cualquier típico "continuo" (en el sentido intuitivo) de la curva. De hecho, se convierte en mucho más fácil en virtud de cualquier razonable hipótesis adicionales, aunque como John Stillwell señala en MO uno puede forzar estas hipótesis (por ejemplo, por tramos lineales) para mantener de todos modos. (Estoy un poco sorprendido de que él fue capaz de evitar toda la fuerza de la Jordania de la curva de teorema, que es igual de intuitivo, pero realmente requiere mucho trabajo para mostrar precisamente por las razones que acabo de dar.)

En general, no necesariamente debe existir corto teoremas con largas pruebas. Más precisamente, si $f(n)$ denota la más larga de la prueba en un razonablemente potente sistema formal de un teorema de la longitud de la $n$, $f(n)$ crece más rápido que cualquier función computable.

Prueba. Supongamos $f(n) \le g(n)$ donde $g$ es computable. A continuación, podemos encontrar un algoritmo que encuentra pruebas de teoremas: simplemente prueba todas las pruebas de longitud de hasta el $g(n)$. Pero para un razonablemente potente sistema formal (que se puede hablar de máquinas de Turing) este algoritmo no puede existir debido a la unsolvability de la detención de problema.

Si esto implica que hay intuitiva de los resultados con los no-intuitivo pruebas es tema de debate. Los ejemplos que se me ocurre (incluyendo la parte superior de votación de los ejemplos en el MO hilo) son similares a la suya; el resultado es intuitivamente claro, porque tenemos algunos casos en la mente, pero las definiciones son bastante amplios que algunos el trabajo es necesario para cubrir todos los casos.

Answer 2

En Alhfors' Análisis Complejo, el concepto de homología se presentó por primera vez a través de sinuosos número. Finalmente, Ahlfors muestra (a través de la monodromy y teorema del mapeo de Riemann teorema) que la noción de homología a través de sinuosos número es consistente con la más estándar, topológicos.

Yo no sé si esto es un caso de un no-conexión obvia, o la obliteración de un resultado fácil con alta potencia de la maquinaria. Estoy inclinado a creer que el anterior.

Answer 3

Creo que el mejor ejemplo de "teorema simple" incluso imposible de probar es la existencia de los números naturales. Su existencia es de hecho un axioma, llamado axioma de infinitud (ver http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_infinity)

Answer 4

El teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas establece que:

Para cualquiera de los dos positivos coprime enteros $a$$d$, existen infinitos números primos de la forma $a + nd$ donde $n \geq 0$.

Una forma fácil de entender la declaración.Debe ser, naturalmente, asumir que es cierto y esperar una sencilla prueba.He buscado en internet para una estricta prueba de este teorema y he encontrado este hardcore obra maestra.