Demostrar que la suma de dos funciones medibles es medible.

Question

Supongamos que $f$ y $g$ son medibles por Lebesgue, queremos demostrar $f+g$ es medible. Así, la pista es considerar las funciones continuas $F : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} $ dado por $h(x) = F(f ,g ) $ . Si podemos mostrar $F$ Es medible, entonces Tomar $F = f +g $ resolvería nuestro problema.

En otras palabras, quiero demostrar que el conjunto $R = \{ (f,g) : F(f,g) > a $ es medible por Lebesgue Pero este conjunto es sólo un rectángulo en el plano. Y como $F$ es continua, entonces $R$ debe ser abierto, y por lo tanto una unión de rectángulos abiertos que son medibles y por lo tanto $R$ debe ser medible. ¿Es este un enfoque correcto del problema? ¿Alguien puede ayudarme a formalizarlo? gracias

Answer 1

Este es un método que utilicé en mi clase de análisis. Tenga en cuenta que $f(x) + g(x) < t$ si $f(x) < t-g(x)$ si existe un número racional $r$ tal que $f(x) < r < t-g(x)$ .

Por lo tanto, $\{x : f(x) + g(x) < t\} = \bigcup_{r\in\Bbb Q} [f^{-1}((-\infty, r)) \cap g^{-1}((-\infty, t-r))]$ .

Los dos conjuntos que se cruzan en la unión son conjuntos medibles. Por lo tanto, el conjunto de la izquierda también es medible, lo que significa que $f+g$ es medible.