Probabilidad sobre una moneda de juegos

Question

Independiente de lanzamientos de una moneda sesgada que aterriza en la cabeza con una probabilidad de 0.7 están hechos. Cada uno de los dos jugadores, a y B, se ha elegido uno de los ocho trillizos HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, la cefalea tensional y TTT, y el jugador cuyo triplete que ocurra primero gana. Por ejemplo, supongamos que Una había elegido HHT y B había elegido THT. Entonces, si la moneda lanzada al aire muestra la secuencia HHHT....., Una gana, y si la moneda lanzada al aire muestra la secuencia TTTHT..., B gana. Desde la moneda está sesgada hacia los jefes, el triplete de HHH parece ser una buena opción.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el patrón de THH se produce antes de que el patrón de HHH?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el patrón de HTH se produce antes de que el patrón de THH?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que el patrón de HHH se produce antes de que el patrón de HTH?

Answer 1

Hay una buena discusión de Penney del juego en la Sección 8.4 de Concreto de las Matemáticas. Utilizando las técnicas descritas no, las respuestas puedo conseguir (confirmando joriki)

(a) $(1 + p + p^2)q$, $0.657$ cuando $p = 0.7$, $q = 0.3$.

(b) $\frac{1-pq}{2-p}$, $\frac{79}{130} \approx 0.608$ al $p = 0.7, q = 0.3$.

(c) $\frac{p}{1+pq}$, $\frac{70}{121} \approx 0.579$ al $p = 0.7, q = 0.3$.

---

Voy a trabajar a través de la parte (b) para mostrar cómo las técnicas, en Concreto las Matemáticas de trabajo.

Supongamos que el Jugador a elige HTH y el Jugador B elige THH. Deje $S_A$ ser la suma de la ganancia de configuraciones para Un Jugador, por lo que $$S_A = \text{HTH + HHTH + THTH + HHHTH + HTHTH + TTHTH} + \cdots$$ Asimismo, la suma de la ganancia de configuraciones para el Jugador B es $$S_B = \text{THH + TTHH + HTTHH + TTTHH} + \cdots$$ Una ventaja de hacer esto es que si dejamos $H = 0.7$ $T = 0.3$ en estas dos ecuaciones $S_A$ $S_B$ dar las probabilidades de que el Jugador a y el Jugador B gana, respectivamente.

A continuación, vamos a $N$ denotar la suma de las secuencias en las que ningún jugador ha conseguido hasta ahora: $$N = 1 + \text{H + T + HH + HT + TH + TT + HHH + HHT + HTT + THT + TTH + TTT} + \cdots$$ Ahora, buscamos un conjunto de ecuaciones que relacionen $S_A, S_B,$$N$. En primer lugar, podemos escribir la suma de todas las configuraciones de dos maneras diferentes, por lo que deben ser iguales: $$1 + N(\text{H + T}) = N + S_A + S_B.$$ La adición de HTH a cualquier configuración en $N$ resultados en una victoria para $A$, una victoria para $A$, seguido por TH, o una victoria para $B$, seguido por un TH, por lo que $$N \text{ HTH} = S_A + S_A \text{ TH} + S_B \text{ TH}.$$ Por último, añadir THH a una configuración en la $N$ resultados en una victoria para $A$, seguido por una H o una victoria para $B$, así que tenemos $$N \text{ THH} = S_A \text{ H} + S_B.$$ Dejando $H = p$ $T = q$ y la solución de las tres últimas ecuaciones, llego $S_A = \frac{1-pq}{2-p}$$S_B = \frac{1-p+pq}{2-p}$. Con $p = 0.7$, los rendimientos de $S_A = \frac{79}{130} \approx 0.608$$S_B = \frac{51}{130} \approx 0.392$.

Para otro ejemplo de la utilización de esta técnica, a ver una pregunta relacionada con dos competidores patrones en moneda tirar.

Answer 2

a) El patrón de THH siempre se produce antes de que el patrón de HHH, a menos que el patrón de HHH se produce de inmediato. La probabilidad de que se produzca de inmediato es $0.7^3=0.343$, por lo que la probabilidad de THH ocurra primero es $1-0.343=0.657$.

b) Mike ya ha proporcionado una buena solución para esta parte. He aquí otro enfoque:

Tenga en cuenta que los dos patrones siempre la alternativa de conseguir una oportunidad para ser completado por un H: Si HT falla al ser completado para HTH, hemos TT, y después de cierto número de Ts vamos a terminar con TH. Que le da una oportunidad para completar THH con una H, y si eso falla, tenemos HT, que se inicia el ciclo.

Ahora bien, si dos jugadores tienen la alternancia de posibilidades de ganar con una probabilidad de $q=0.7$, la probabilidad de que el jugador que va primero es ganar

$$q+(1-q)^2q+\dotso=\frac q{1-(1-q)^2}=\frac q{2q-q^2}=\frac1{2-q}\;.$$

Ahora el HT oportunidad, viene primero, si la primera vuelta es un H, con una probabilidad de $q$, mientras que si la primera vuelta es una T, con una probabilidad de $1-q$, el TH oportunidad, viene primero. Por lo tanto la probabilidad de HTH que venir primero es

$$ q\frac 1{2-q}+(1-q)\left(1-\frac1{2-q}\right) =\frac {q+(1-q)(1-q)}{2-q} =\frac {1-q+q^2}{2-q}\;. $$

Con $q=0.7$, esto es $79/130\approx0.608$.

c) Deje $p$ denotar la probabilidad de que HHH que venir primero. Vamos a encontrar una ecuación para $p$ mediante el trazado de cómo las posibilidades para completar los patrones de evolucionar. En primer lugar tenemos que esperar para que un H. a Continuación, con una probabilidad de $1-q$ obtenemos una T, y HHH pierde a menos que esto es seguido por otro de T, de nuevo con una probabilidad de $1-q$. Entonces estamos de vuelta donde empezamos, por lo que esta rama aporta una ganancia de probabilidad $(1-q)^2p$. Por otro lado, con una probabilidad de $q$ el primer H es seguido por otro de H. a Continuación, tenemos la probabilidad de $q$ para otro H para completar HHH, y la probabilidad de $1-q$ T, en cuyo caso, como antes, debemos tener otra T, con una probabilidad de $1-q$, para evitar HTH y volver a donde empezamos; por lo que esta rama aporta una ganancia de probabilidad $q(q+(1-q)^2p)$. En total, se han

$$p=(1-q)^2p+q(q+(1-q)^2p)\;,$$

y la solución para $p$ rendimientos

$$p=\frac q{1+q-q^2}\;.$$

Para $q=0.7$, esto es $70/121\approx0.579$.

---

La recopilación de los resultados, encontramos que la THH beats HHH con una probabilidad de $0.657$, HTH beats THH con una probabilidad de $0.608$, y HHH beats HTH con una probabilidad de $0.579$. Por lo tanto, si queremos restringir el juego de estas tres opciones, no es pura estrategia de equilibrio de Nash: Lo que dos de estos tres patrones de haber sido elegido, se paga por uno de los dos jugadores a cambiar para el resto de patrón.

Answer 3

Después de leer las respuestas anteriores, propongo el siguiente procedimiento sistemático para este tipo de problemas:

Supongamos que Alice ha escogido $HTH$ y Bob ha escogido $THH$. Dibujar un grafo con conjunto de vértices $V$ los segmentos inicial de ganar posiciones para este juego: $$V=\{S, H,T, HH, HT, TH, TT, HTH, THH\}$$ donde $S$ ("inicio") denota el vacío segmento. A partir de cada vértice distinto de $HTH$ $THH$ hay dos dirigidas por los bordes a la próxima posiciones posibles, por ejemplo, de $HT$ hay un borde a$HTH$$TT$. Los bordes llevar una probabilidad del factor de $0.7$, resp. $0.3$. Cada vértice $v\in V$ es asignado a una variable (desconocido) $p_v$, lo que denota la probabilidad de que Alicia gana cuando el juego está en estado de $v$. De inmediato uno ha $p_{HTH}=1$$p_{THH}=0$, y para cada no terminal $v\in V$ se tiene una ecuación que relaciona la $p_v$ $p_{v'}$s una longitud de la arista de aguas abajo.$\ $ E. g., $$p_{HT}={0.7}p_{HTH}+{0.3}p_{TT}={0.7}+{0.3}p_{TT}\ .$$ La resolución de la resultante (escasa) sistema de ecuaciones lineales por fin llegamos a el valor de $p_S$ dando a priori la probabilidad de que Alicia gana el juego.

Answer 4

Mi trabajo parte b:

vamos $$ a = P(HTH \text{ antes }THH\text{ dado dos primeros lanzamientos son }HT) = P(HTH\text{ antes }THH\text{ dado dos primeros lanzamientos son }HH) $$

Para el caso de $HH$, no habrá posibilidades, hasta la próxima $T$ viene, es decir, mismo que inicio con $HT$.

Del mismo modo, vamos a $$ b = P(HTH\text{ antes }THH\text{ dado dos primeros lanzamientos son }TH) = P(HTH\text{ antes }THH \text{ dado dos primeros lanzamientos son }TT) $$

Tenemos: $$a = 0.7 + 0.3\times 0.3a$$ i.e. $HT$ followed by $H$ (0.7 here), or $HT$ followed by a $T$ (0.3 here) plus $TTTTH$ and then a $T$ (0.3 here). The number of $T$ in between does not matter as it must finally becomes $TH$. so $a = \frac{10}{13}$

Del mismo modo, $$b = 0.3\times 0.7 + 0.3\times 0.3b$$ es decir,$TH$, seguido por $T$ (0.3 aquí) y, a continuación, $H$ (0.7 aquí) para ganar, o $TH$, seguido por $T$ (0.3 aquí) $TTTTH$ y, a continuación, $T$ (0.3 aquí). por lo $b = \frac{3}{13}$

$$\text{the required probability} = [P(HH)+P(HT)]\times a + [P(TT)+P(TH)]\times b = 79/130$$

---

Otra forma de resolver para a y b (probablemente más fácil de entender):

$$a = 0.7 + 0.3b $$ $HT$ , seguido por $H$ (0.7) para ganar, o $HT$ seguir $T$ (0.3) para convertirse en el caso de comenzar con $TT$.

Del mismo modo, $$b = 0.3 \times a $$ $TH$ , seguido por $T$ (0.3) y se convierte en el caso de comenzar con $HT$