Demostrar que el centro de G es de orden divisible por p

Question

Deje $G$ ser un no-trivial finito grupo y $p$ un número primo. Si cada subgrupo $H\leq$ G tiene índice divisible por $p$, demostrar que el centro de la $G$ es de orden divisible por $p$.

Así que tengo que $[G:H]=pk$ para algunos entero $k$, y tenemos que demostrar que el $|Z(G)|=pl$ para algunos entero $l$. Deje $|G|=n$, puedo probar el caso si asumimos $G$ es un grupo abelian, a continuación,$|Z(G)|=n$, por lo que el centro ha pedido divisible por $p$.

¿Cómo debo enfoque si $G$ no es abelian?

Answer 1

Tenga en cuenta que la clase ecuación de un grupo finito $G$ es

$|G|=|Z(G)|+\sum_{i=1}^n |cl(a_i)|\implies |Z(G)|=|G|-\sum_{i=1}^n |cl(a_i)|$ donde $a_i$ son los distintos representantes de la clase.

Ahora $|cl(a_i)|=\dfrac{|G|}{|C(a_i)|}$ donde $C(a_i)=\{x\in G:xa_i=a_ix\}$.

Tenga en cuenta que $C(a_i)$ es un subgrupo de $G$ por cada $1\leqslant i\leqslant n.$

Ya que cada subgrupo de índice divisible por $p$ , por lo tanto $p\mid |cl(a_i)|$ todos los $1\leqslant i\leqslant n.$

También para cualquier subgrupo $H$ $G$ tenemos $|G|=|{\dfrac{G}{H}}||H|$ ,

$p \mid \dfrac{|G|}{|H|}\implies p\mid |G|$

Desde el lado derecho es divisible por $p$ lo está por el lado izquierdo.