Números triangulares y de Fibonacci: $\sum_{k=0}^{2n}T_{2n-k}\color{red}{F_k^2}=F_{2n}F_{2n+1}-n$

Question

La conocida serie cuadrada de Fibonacci $(1)$

$$0^2+1^2+1^2+2^2+3^2+\cdots F_{n}^2=F_{n}F_{n+1}\tag1$$

$T_n=0,1,3,6,10,..$ y $F_n=0,1,1,2,3,...$ Para $n=0,1,2,3,...$

Ahora incluimos los números triangulares en $(1)$ como se muestra a continuación

$$T_0F_0^2=F_1F_2-1$$

$$T_1F_0+T_0F_1=F_2F_3-1$$

$$T_2F_0^2+T_1F_1^2+T_0F_2^2=F_3F_4-2$$

$$T_3F_0^2+T_2F_1^2+T_1F_2^2+T_0F_3^2=F_4F_5-2$$

$$T_4F_0^2+T_3F_1^2+T_2F_2^2+T_1F_3^2+T_0F_4^2=F_5F_6-3$$

$$T_5F_0^2+T_4F_1^2+T_3F_2^2+T_2F_3^2+T_1F_4^2+T_0F_5^2=F_6F_7-3$$

Observando la serie que involucra a los números triangulares y a los de Fibonacci juntos, encontramos la siguiente forma cerrada.

Para los plazos pares

$$\sum_{k=0}^{2n+1}T_{2n+1-k}\color{red}{F_k^2}=F_{2n+1}F_{2n+2}-n-1\tag2$$

Para los términos de impar

$$\sum_{k=0}^{2n}T_{2n-k}\color{red}{F_k^2}=F_{2n}F_{2n+1}-n\tag3$$

¿Cómo podemos demostrar $(2)$ y $(3)$ ?

Un intento:

Sabiendo que $T_n={n(n+1)\over 2}$ entonces $(3)$ se convierte en

$${1\over 2}\sum_{k=0}^{2n}(2n-k)(2n-k+1)F_k^2=F_{2n}F_{2n+1}-n$$

Simplificado a

$$(4n^2+2n)\sum_{k=0}^{2n}F_k^2+\sum_{k=0}^{2n}(k^2-k-4nk)F_k^2=2F_{2n}F_{2n+1}-2n$$

finalmente bajó a

$$\sum_{k=0}^{2n}(k^2-k-4nk)F_k^2=(2-2n-4n^2)F_{2n}F_{2n+1}-2n$$

no estamos seguros de qué hacer a continuación...

Answer 1

Esta respuesta utiliza $$\sum_{k=0}^{n}F_k^2=F_nF_{n+1}\tag4$$ $$\sum_{k=0}^{n}kF_k^2=nF_nF_{n+1}-F_n^2+\frac{1+(-1)^{n-1}}{2}\tag5$$ $$(-1)^n=F_{n-1}F_{n+1}-F_n^2\tag6$$ Las pruebas están escritas al final de la respuesta.

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Queremos demostrar que $$\sum_{k=0}^{m}T_{m-k}F_k^2=F_{m}F_{m+1}-\left\lceil\frac{m}{2}\right\rceil\tag7$$

Probemos $(7)$ por inducción en $m$ utilizando $(4)(5)(6)$ .

$(7)$ se mantiene para $m=1$ .

Suponiendo que $(7)$ se mantiene para algunos $m\ (\ge 1)$ da $$\begin{align}\sum_{k=0}^{m+1}T_{m+1-k}F_k^2&=\sum_{k=0}^{m}(T_{m-k}+m+1-k)F_k^2\\\\&=\left(\sum_{k=0}^{m}T_{m-k}F_k^2\right)+\left(\sum_{k=0}^{m}(m+1-k)F_k^2\right)\\\\&=F_{m}F_{m+1}-\left\lceil\frac m2\right\rceil+(m+1)\left(\sum_{k=0}^{m}F_k^2\right)-\left(\sum_{k=0}^{m}kF_k^2\right)\\\\&=F_{m}F_{m+1}-\left\lceil\frac m2\right\rceil+(m+1)F_{m}F_{m+1}-\left(mF_{m}F_{m+1}-F_{m}^2+\frac{1+(-1)^{m-1}}{2}\right)\\\\&=2F_{m}F_{m+1}+F_{m}^2-\left\lceil\frac m2\right\rceil-\frac{1+(-1)^{m-1}}{2}\\\\&=2F_{m}F_{m+1}+F_{m-1}F_{m+1}-(-1)^m-\left\lceil\frac m2\right\rceil-\frac{1+(-1)^{m-1}}{2}\\\\&=F_{m+1}(F_m+F_m+F_{m-1})-(-1)^m-\left\lceil\frac m2\right\rceil-\frac{1+(-1)^{m-1}}{2}\\\\&=F_{m+1}F_{m+2}-(-1)^m-\left\lceil\frac m2\right\rceil-\frac{1+(-1)^{m-1}}{2}\\\\&=F_{m+1}F_{m+2}-\left\lceil\frac{m+1}{2}\right\rceil\qquad\blacksquare\end{align}$$

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Probemos $(4)$ por inducción en $n$ . $$\sum_{k=0}^{n}F_k^2=F_nF_{n+1}\tag4$$

$(4)$ se mantiene para $n=1$ .

Suponiendo que $(4)$ se mantiene para algunos $n\ (\ge 1)$ da $$\sum_{k=0}^{n+1}F_k^2=F_nF_{n+1}+F_{n+1}^2=F_{n+1}(F_n+F_{n+1})=F_{n+1}F_{n+2}\qquad \blacksquare$$

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A continuación, demostremos $(5)$ por inducción en $n$ utilizando $(6)$ .

$$\sum_{k=0}^{n}kF_k^2=nF_nF_{n+1}-F_n^2+\frac{1+(-1)^{n-1}}{2}\tag5$$ $$(-1)^n=F_{n-1}F_{n+1}-F_n^2\tag6$$

$(5)$ se mantiene para $n=1$ .

Suponiendo que $(5)$ se mantiene para algunos $n\ (\ge 1)$ da $$\begin{align}\sum_{k=0}^{n+1}kF_k^2&=nF_nF_{n+1}-F_n^2+\frac{1+(-1)^{n-1}}{2}+(n+1)F_{n+1}^2\\\\&=nF_nF_{n+1}+nF_{n+1}^2+F_{n+1}^2-F_n^2+\frac{1+(-1)^{n-1}}{2}\\\\&=nF_{n+1}(F_n+F_{n+1})+(F_{n+1}+F_n)(F_{n+1}-F_n)+\frac{1+(-1)^{n-1}}{2}\\\\&=nF_{n+1}F_{n+2}+F_{n+2}F_{n+1}-F_{n+2}F_n+\frac{1+(-1)^{-1}}{2}\\\\&=(n+1)F_{n+1}F_{n+2}-(F_{n+1}^2+(-1)^{n+1})+\frac{1+(-1)^{n-1}}{2}\\\\&=(n+1)F_{n+1}F_{n+2}-F_{n+1}^2+\frac{1+(-1)^n}{2}\end{align}$$

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Por último, demostremos $(6)$ por inducción en $n$ .

$$(-1)^n=F_{n-1}F_{n+1}-F_n^2\tag6$$

$(6)$ se mantiene para $n=1$ .

Suponiendo que $(6)$ se mantiene para algunos $n\ (\ge 1)$ da $$\begin{align}(-1)^{n+1}&=-(-1)^n\\\\&=-F_{n-1}F_{n+1}+F_n^2\\\\&=-(F_{n+1}-F_n)F_{n+1}+F_n^2\\\\&=-F_{n+1}^2+F_nF_{n+1}+F_n^2\\\\&=-F_{n+1}^2+F_n(F_{n+1}+F_n)\\\\&=F_{n}F_{n+2}-F_{n+1}^2\qquad\blacksquare\end{align}$$