¿Cómo puedo desmentir que cada número impar, $2k+1>1$ puede ser escrito en la forma $2k+1 = 2^n + p$ $p$ prime?
Sé que no es cierto, pero no sé cómo explicar que no es cierto.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
JMoravitz
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Basta con encontrar un contraejemplo.
Después de algunas búsquedas, nos encontramos con A133122
Los números impares que no puede ser escrito como la suma de una extraña prime y una potencia de dos
$$1, 3, 127, 149, 251, 331, 337, 373, 509, 599, 701,\dots$$
Incluso permitiendo $n=0$ y el uso de incluso los primos de decir $3=2^0+2$ e ignorando $1$, el más pequeño contraejemplo es aparentemente $127$.
Para demostrar que $127$ es de hecho un contraejemplo, tenga en cuenta que$127 = 64+3^2\cdot 7 = 32+5\cdot 19 = 16 + 3\cdot 37 = 8+7\cdot 17=\dots$, por lo que no hay potencia de dos es válida.
Estos números se denominan Obstinado Números.
Joffan
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Una breve hoja de cálculo de búsqueda de los números primos da $149$ como un contraejemplo.
$149-2^0 = 148$, incluso
$149-2^1 = 147 = 3\cdot7^2$
$149-2^2 = 145 = 5\cdot29$
$149-2^3 = 141 = 3\cdot47$
$149-2^4 = 133 = 7\cdot19$
$149-2^5 = 117 = 3^2\cdot13$
$149-2^6 = 85 = 5\cdot17$
$149-2^7 = 21 = 3\cdot7$
El más pequeño compuesto contraejemplo es $905$, el primer miembro de la OEIS A098237.
