Hacer integrar las funciones de desaparecer en el infinito?

Question

Si $f$ es un valor real de la función es integrable sobre $\mathbb{R}$, implica que

$$f(x) \to 0 \text{ as } |x| \to \infty? $$

Cuando considero que, para simplificar, en función positiva $f$ que es integrable, a mí me parece que la finitud de la "el área bajo la curva" sobre la línea completa implica que $f$ debe decadencia con el tiempo. Pero es cierto en general para integrar las funciones?

Answer 1

SUGERENCIA de Considerar la función de $f:\mathbb R\to\mathbb R$ que es cero para los números negativos, y para cada número natural $n$, $f(x)=n$ para$x\in\left[n,n+\frac{1}{n^3}\right]$$f(x)=0$$x\in\left(n+\frac{1}{n^3},n+1\right)$.

Usted necesita algunas más fuertes que las condiciones en $f$ que acaba de mensurabilidad.

Answer 2

Aquí es un hermoso contra-ejemplo:

$$\int_{\mathbb R}\sin(x^2)\ dx=\sqrt{\frac\pi2}$$

Otros ejemplos más extremos

$$\int_{\mathbb R}x\sin(2^{|x|})\ dx$$

Éstos se basan en la prueba de Dirichlet para la convergencia de una serie/integral.

Answer 3

Ya hay respuestas buenas, sólo quería hacerlo más visual. Observar que

\begin{align} \infty &< \sum_{k=0}^{\infty} k\ \cdot\ \ \ 2^{-k}\ \ =\hspace{10pt}2 < \infty \\ \infty &< \sum_{k=0}^{\infty} k\cdot(-2)^{-k} =-\frac{2}{9} < \infty \end{align}

(es bastante fácil de hacer a mano, pero si quieres, aquí y aquí están los enlaces a WolframAlpha).

Por lo tanto, podemos usar:

$$ f(x) = \sum_{k = 0}^{\infty}k\cdot(-1)^k \cdot \max(0,1-2^k\cdot|x-k|) $$

A continuación se diagramas de $|f|$$f$:

Espero que esto ayude a $\ddot\smile$

Answer 4

No, un ejemplo clásico es la Integral de Fresnel (de hecho el integrando es analítica y no sólo integrable) $$\int_0^{\infty} \cos(x^2)dx = \int_0^{\infty} \sin(x^2)dx = \sqrt{\dfrac{\pi}8}$$