Alguien puede confirmar mi método y de respuesta para este trig problema?

Question

Hallar el valor exacto de:

$$\cos 1^{\circ}+\cos 2^{\circ}+\cos 3^{\circ}+ \ldots +\cos 358^{\circ}+\cos 359^{\circ}$$

Llegué $0$ como hice esto mediante la asignación de un positivo o negativo $x$ variable para cada uno de los cuadrantes. Este método es válido y mi respuesta?

Answer 1

Casi. Observa que cada término, excepto para $\cos(180^{\circ})$ se anulan.

Answer 2

La respuesta es $-1$.

Mi solución utiliza la adición de vectores (equivalentemente, número complejo, además).

Creo que de $\cos n^\circ$ $x$coordenadas del punto de $(\cos n^\circ,\sin n^\circ)$, el punto de $n$ grados a lo largo del círculo. La suma: $$\sum_{n=0}^{359}(\cos n^\circ,\sin n^\circ)$$ es, por tanto, la suma de los vértices de un regular $360$-gon centrada en el origen. (Aviso que comienza en la $n=0$, no $n=1$.)

Esta suma no cambia al girar por $1^\circ$ alrededor del origen, ya que la rotación de un $360$-gon por $1^\circ$ no cambia, y ya que la rotación alrededor del origen es lineal en el mapa (la rotación de la suma es la suma de las rotaciones). El único vector que no cambia al girar alrededor del origen es el origen de la misma, $(0,0)$. Por lo tanto, dicha suma es igual a $(0,0)$.

Buscando en la $x$-coordinar, obtenemos: \begin{align} 0&=\cos0^\circ+\cos1^\circ+\dotsb+\cos359^\circ\\ -\cos0^\circ&= \phantom{\cos0^\circ+{}\!}\cos1^\circ+\dotsb+\cos359^\circ\\ -1&= \phantom{\cos0^\circ+{}\!}\cos1^\circ+\dotsb+\cos359^\circ\\ \end{align}

Answer 3

Usted puede utilizar Lagrange trigonométricas de identidad$$\sum_{n=1}^{N}\cos(n\theta)=-\frac{1}{2}+\frac{\sin((N+\frac{1}{2})\theta)}{2\sin(\frac{\theta}{2})}$$ Sustituyendo $N=359$$\theta=\frac{\pi}{180}$, consigue $$-\frac{1}{2}+\frac{\sin(360-\frac{1}{2})\frac{\pi}{180}}{2\sin(\frac{1}{2}\frac{\pi}{180})}=-\frac{1}{2}+\frac{\sin(2\pi-\frac{\pi}{360})}{2\sin(\frac{\pi}{360})}=-1$$ desde $\sin(2\pi-\theta)=-\sin(\theta)$.

Answer 4

Casi. Acaba de escribir $$\sum_{k=1}^{359}\cos\left ( \frac{2k\pi}{360}\right)=\cos (\pi)+\sum_{k=1}^{179}\cos\left ( \frac{2k\pi}{360}\right)+\sum_{k=181}^{359}\cos\left ( \frac{2k\pi}{360}\right) $$ La agrupación de Gauss Sumas de los rendimientos $$\sum_{k=1}^{179}\cos\left ( \frac{2k\pi}{360}\right)=\sum_{k=1}^{89}\cos \left (\frac{2k\pi}{360}\right)+ \cos\left (\pi-\frac{2k\pi}{360}\right)$$ $$\sum_{k=181}^{359}\cos\left ( \frac{2k\pi}{360}\right)=\sum_{k=1}^{89}\cos \left (\pi+\frac{2k\pi}{360}\right)+ \cos\left (2\pi-\frac{2k\pi}{360}\right)$$ Cada término se cancela debido a que $$\cos(\pi-\alpha)=-\cos (\alpha)$$ $$\cos(\pi+\alpha)=-\cos(\alpha)=-\cos(2\pi-\alpha)$$ Una prueba sin palabras sería algo así:

Answer 5

$$\cos 1^{\circ}+\cos 2^{\circ}+\cos 3^{\circ}+ \ldots +\cos 358^{\circ}+\cos 359^{\circ}=$$ $$\tfrac{2\sin0.5^{\circ}\cos 1^{\circ}+2\sin0.5^{\circ}\cos 2^{\circ}+2\sin0.5^{\circ}\cos 3^{\circ}+ \ldots +2\sin0.5^{\circ}\cos 358^{\circ}+2\sin0.5^{\circ}\cos 359^{\circ}}{2\sin0.5^{\circ}}$$ y lo conseguirás