En la integral $\int_{e}^{\infty}\frac{t^{1/2}}{\log^{1/2}\left(t\right)}\alpha^{-t/\log\left(t\right)}dt,\,\alpha>1.$

Question

Dejemos que $\alpha>1$ . Me gustaría encontrar un forma cerrada o un límite superior de

$$f\left(\alpha\right)=\int_{e}^{\infty}\frac{t^{1/2}}{\log^{1/2}\left(t\right)}\alpha^{-t/\log\left(t\right)}dt.$$

Para la forma cerrada soy muy escéptico pero tengo problemas también para un límite superior. Intenté, manipulando un poco, integrar con respecto a $\alpha$ desde $$\frac{\partial}{\partial\alpha}\alpha^{-t/\log\left(t\right)}=-\frac{t}{\alpha\log\left(t\right)}\alpha^{-t/\log\left(t\right)}$$ pero parece bastante inútil y en este momento no vi una buena manera de proceder. Tal vez sea interesante ver, usando algunas sustituciones triviales, que $$f\left(\alpha\right)=\int_{e}^{\infty}\frac{\left(e^{3/2}\right)^{-W_{-1}\left(-1/v\right)}}{v\left(-W_{-1}\left(-\frac{1}{v}\right)\right){}^{1/2}}\frac{W_{-1}\left(-\frac{1}{v}\right)}{W_{-1}\left(-\frac{1}{v}\right)+1}\alpha^{-v}dv$$ $$=\int_{e}^{\infty}g\left(w\right)\alpha^{-v}dv$$ donde $W_{-1}\left(x\right)$ es el Lambert $W$ función. Así que parece que $f(\alpha)$ está de alguna manera conectada a la transformada de Mellin de $g(w).$

Gracias.

Answer 1

Un enfoque ingenuo, pero probablemente eficiente, es explotar el hecho de que la función logaritmo es aproximadamente constante en intervalos cortos y $$ \frac{1}{\sqrt{N}}\int_{e^N}^{e^{N+1}}\sqrt{t}\,\alpha^{-t/N}\,dt =\frac{N\sqrt{\pi}}{2\log(\alpha)^{3/2}}\,\text{Erf}\left(\sqrt{\frac{e^N\log\alpha}{N}}\right)$$ puede aproximarse eficientemente a través de la fracción continua para la función de error.
También podemos considerar este hecho: mediante la transformada de Laplace $$ \int_{0}^{+\infty}\sqrt{t}\exp\left(-\frac{t\log\alpha}{N}\right)\,dt = \int_{0}^{+\infty}\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{t}}\right)\,\mathcal{L}\left(t \exp\left(-\frac{t\log\alpha}{N}\right)\right)\,ds $$ obtenemos la siguiente integral: $$ \int_{0}^{+\infty}\frac{N^2}{\sqrt{\pi s}(Ns+\log\alpha)^2}\,ds =\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{(s^2+\frac{\log\alpha}{N})^2}\,ds$$ que es simple de estimar en términos de $N$ y $\alpha$ . La integral original es una suma ponderada de estas integrales, que según mis cálculos debería comportarse como $$\exp\left(-\log(\alpha)^{3/2}\right).$$ Pero probablemente estoy complicando demasiado las cosas, y podemos recuperar el mismo límite simplemente aplicando una versión modificada de Método de Laplace a la integral original.