Una función real que es aditivo, pero no homogéneos

Question

A partir de la teoría lineal de asignaciones, sabemos lineal asigna a través de un espacio vectorial satisfacer dos propiedades:

Aditividad: $$f(v+w)=f(v)+f(w)$$

Homogeneidad: $$f(\alpha v)=\alpha f(v)$$

que $\alpha\in \mathbb{F}$ es un escalar en el campo que el espacio vectorial está definido, y que ninguna de estas condiciones implica la otra. Si $f$ está definida sobre los números complejos, $f:\mathbb{C}\longrightarrow \mathbb{C}$, para luego encontrar una asignación que es aditivo, pero no homogéneos es simple; por ejemplo, $f(c)=c^*$. Pero ¿se puede presentar un ejemplo en los reales, $f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$, que es aditivo, pero no homogéneos?

Answer 1

Si $f : \Bbb{R} \to \Bbb{R}$ es aditivo, entonces se puede demostrar que los $f(\alpha v) = \alpha f(v)$ cualquier $\alpha \in \Bbb{Q}$ (por lo $f$ es una transformación lineal al $\Bbb{R}$ es visto como un espacio vectorial sobre $\Bbb{Q}$). Como $\Bbb{Q}$ es denso en $\Bbb{R}$, se deduce que un aditivo función que no es homogénea debe ser discontinua. Para la construcción de la no-trivial funciones discontinuas en $\Bbb{R}$ agradable con las propiedades algebraicas, generalmente tiene que recurrir a la existencia de una base para $\Bbb{R}$ visto como un espacio vectorial sobre $\Bbb{Q}$. Esa base se llama una base de Hamel. Dada una base de Hamel $B = \{x_i \mid i \in I\}$ $\Bbb{R}$ (donde $I$ es de unos necesariamente innumerable conjunto de índices), puede definir una función que es aditivo, pero no es homogéneo, por ejemplo, elegir una base de elementos $x_i$ y definen $f$ tal que $f(x_i) = 1$$f(x_j) = 0$$j \neq i$.

Answer 2

Aditivo pero no homogéneo de las funciones de $f: \mathbb R\to\mathbb R$ tiene que ser un poco más complicado ya que uno puede mostrar que esas funciones no pueden ser medibles y por lo tanto necesitan el axioma de elección en la manera de ser construido.

Considere la posibilidad de $\mathbb R$ como vectorspace sobre el campo $\mathbb Q$ y seleccione una base $(r_i)_{i\in I}$. Llame a $(x,i)$ el coeficiente de $r_i$ en la base de la representación de $x$ con respecto a la base de $(r_i)_{i\in I}$. A continuación, $x\mapsto (x,i)$ $\mathbb Q$- lineal y, por tanto, especialmente aditivo, pero no es, obviamente, $\mathbb R$- homogéneo, por $(r_i,i) = 1$$0 = (r_j,i) = (\frac{r_j}{r_i}\cdot r_i,i)$$i\neq j$.