Evaluar un límite que implique una integral definida

Question

Dejemos que $(I_n)_{n \geq 1}$ sea una secuencia tal que $$I_n = \int_0^1 \frac{x^n}{4x + 5} dx$$ Evalúa el siguiente límite: $$\lim_{n \to \infty} nI_n$$

Todo lo que he podido encontrar es que $(I_n)$ es decreciente y converge a $0$ .

Gracias.

Answer 1

Basta con aplicar la integración por partes:

$$ n I_n = \int_{0}^{1}(n x^{n-1})\frac{x\,dx}{4x+5} = \color{red}{\frac{1}{9}}-\int_{0}^{1}\frac{5x^n}{(4x+5)^2}\,dx$$ y fíjate que: $$ \left|\int_{0}^{1}\frac{5x^n}{(4x+5)^2}\,dx\right|\leq \frac{1}{5}\int_{0}^{1}x^n\,dx = \frac{1}{5n+5}.$$

Answer 2

Pista: Expande el integrando utilizando la serie geométrica:

$$\frac{x^n}{5(1+4x/5)}.$$

Es uniformemente convergente en $|x|\leq 5/4$ e integrar el polinomio resultante.

Answer 3

SUGERENCIA:

Si $\displaystyle I_m=\int_0^1\dfrac{x^m}{4x+5}dx,$

$\displaystyle4I_{n+1}=\int_0^1\dfrac{4x^{n+1}}{4x+5}dx=\int_0^1\dfrac{x^n(4x+5)-5x^n}{4x+5}dx=\int_0^1x^n\ dx-5I_n$

Ahora $\displaystyle4\cdot\dfrac{I_{n+1}}{n+1}+\dfrac{5n}{n+1}\cdot\dfrac{I_n}n=\dfrac{\int_0^1x^n\ dx}{n+1}$

Finalmente, $$\lim_{n\to\infty}\dfrac{I_{n+1}}{n+1}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{I_n}n$$

Answer 4

Expande la serie de potencias:

$$I_n=\int_0^1{1\over 5}\sum_{i=0}^\infty (-1)^i\left({4\over 5}\right)^ix^{n+i}$$

Dado que la función converge uniformemente en $[0,1]$ y absolutamente, podemos sacar la integral dentro y evaluar y obtenemos

$$I_n = {1\over 5}\sum_{i=0}^\infty(-1)^i\left({4\over 5}\right)^i{1\over n+i+1}$$

Multiplicar por $n$ y obtenemos

$$nI_n = {1\over 5}\sum_{i=0}^n(-1)^{i}\left({4\over 5}\right)^{i}{n\over n+i+1}={1\over 5}\sum_{i=0}^\infty (-1)^{i}\left({4\over 5}\right)^{i}\left(1-{i+1\over n+i+1}\right)$$

Podemos evaluar la primera suma con bastante facilidad

$${1\over 5}\sum_{i=0}^\infty (-1)^{i}\left({4\over 5}\right)^i={1\over 5+4}={1\over 9}$$

Ahora para el segundo término podemos usar la convergencia absoluta para tomar el límite dentro de la suma y obtenemos:

$$\lim_{n\to\infty} \sum_{i=0}^\infty(-1)^i\left({4\over 5}\right)^i{i+1\over n+i+1}=0=\sum_{i=0}^\infty(-1)^i\left({4\over 5}\right)^i(i+1)\cdot\lim_{n\to\infty}{1\over n+i+1}=0$$

por lo que el resultado final es simplemente ${1\over 9}$ .

Answer 5

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[8px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$

$\ds{\mrm{g}\pars{n,x} \equiv {\pars{1 - x}^{n} \over 9 - 4x}}$

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Se trata de una aplicación de Método de Laplace : \begin{align} \lim_{n \to \infty}\pars{n\int_{0}^{1}{x^{n} \over 4x + 5}\,\dd x} & = {1 \over 9}\lim_{n \to \infty}\bracks{n \int_{0}^{1}{\pars{1 - x}^{n} \over 1 - 4x/9}\,\dd x} = {1 \over 9}\lim_{n \to \infty}\pars{n\int_{0}^{\infty}\expo{-nx}\,\dd x} \\[5mm] & = \bbx{\ds{1 \over 9}} \end{align}