Ejemplos de grupos infinitos tales que todos sus respectivos elementos son de orden finito.

Question

Necesito ejemplos de grupos infinitos tales que todos sus elementos respectivos sean de orden finito.

Answer 1

Dejemos que $G=\bigoplus_{n=1}^\infty(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ .

Por definición, cada $g=(g_i)_{i=1}^\infty\in G$ satisface $g_i=0$ para todos los casos, excepto para un número finito de $i$ Por lo tanto $g$ tiene un orden finito.

Sin embargo, tiene un exponente infinito: Consideremos $(0,\dots,1,\dots,0)$ con 1 en el $j$ posición; tiene orden $j$ .

Answer 2

¿Funcionaría esto?

Consideremos un grupo de matrices diagonales de 2x2 con elementos diagonales de la forma $e^{i\pi\frac pq} $ . El elemento de identidad será la matriz de identidad. Y el orden siempre será finito debido a la propiedad de $e^{i\pi} $ y la propiedad multiplicativa de las matrices diagonales. Por favor, señale si hay un error