Ejemplos de grupos infinitos tales que todos sus respectivos elementos son de orden finito.

Question

Necesito ejemplos de grupos infinitos tales que todos sus elementos respectivos sean de orden finito.

Answer 1

Si quiere un ejemplo particularmente malvado/fascinante, el Grupo Grigorchuk está generada finitamente, y cada elemento tiene orden finito, pero sigue siendo infinita. (Esto está relacionado con la respuesta de Sam Nead).

Answer 2

El conjunto de todas las raíces de la unidad forma un grupo pero el orden es infinito pero el orden de cada elemento es finito

Answer 3

Tomemos un conjunto infinito cualquiera $T$ . Por ejemplo, $\Bbb{Z}$ .

Entonces el conjunto de todas las permutaciones de $T$ (se denota $S_T$ ) forma un grupo bajo composición de funciones. El subconjunto de $S_T$ que consiste en aquellas permutaciones que mueven un finito número de elementos en $T$ constituye entonces un subgrupo de $S_T$ .

¿Por qué?

Expliquemos primero qué significa "mover un elemento". Una permutación $\sigma$ $\in$ $S_T$ mueve el elemento $t$ $\in$ $T$ si $\sigma$$ (t) $ $ \N - La gente de la ciudad $ $ t $. Thus, permutations that moves a finite number of elements sends "most" elements of $ T$ a sí mismos.

El subconjunto de permutaciones que desplazan un número finito de elementos en $T$ es un subgrupo de $S_T$ porque: la permutación de identidad se mueve cero elementos, y si decir, $\sigma$ $\in$ $S_T$ mueve exactamente el conjunto $T_1$ $=$ $\{t_1, t_2, ..., t_m\}$ y $\tau$ $\in$ $S_T$ mueve exactamente el conjunto $T_2$ $=$ $\{t'_1, t'_2, ..., t'_n\}$ donde $T_1$ , $T_2$ son subconjuntos de $T$ entonces $\sigma$$ \N - ¦tau $$(t)$ $\neq$ $t$ para $t$ $\in$ $T$ sólo puede ocurrir si $\tau$$ (t) $ $ \en $ $ T_1 $ or $ \ t $ $ \en $ $ T_2 $. This means that $ |sigma $$\tau$ se mueve $\lvert T_1\cup T_2 \lvert$ o menos elementos, lo que implica que $\sigma$$ \N - ¦tau $ moves finitely many elements, and therefore implying that our set is closed under composition. Further, the inverse of $ |sigma $ moves exactly as many elements as $ \N - Sigma$, que estoy seguro de que puedes ver.

Ahora establecemos que en este grupo todos los elementos son de orden finito, pero el grupo es infinito.

Para la primera parte, supongamos que $\sigma$ es un elemento que desplaza a un número finito de elementos en $T$ . Digamos que... se mueve $m$ elementos, y llamemos al conjunto formado por esos $m$ elementos $T'$ . Somos conscientes de que $\sigma$ puede verse como una permutación en $S_{T'}$ cuando su dominio está restringido a $T'$ y $T'$ ser finito nos da $S_{T'}$ siendo un grupo finito de $\lvert T' \lvert$$ ¡! $ elements. It is intuitive that we can find a subgroup of $ S_T $ that is isomorphic to $ S_{T'} $; just choose the subgroup that fixes all elements not in $ T' $ and permutates $ T' $ (verifying that this is a subgroup isomorphic to $ S_{T'} $ should be no problem). This subgroup that is isomorphic to $ S_T' $ is finite; its elements are thus finite. It is a subgroup of our group of permutations that moves finitely many elements of $ T $, and therefore $ \N - El sigma$ es de orden finito, estando en este grupo.

Por último, hay que tener en cuenta que para cualquier número natural $n$ y cualquier subconjunto de $S_T$ que consiste en $n$ elementos, digamos $n$ $=$ $90$ miles de millones, o $n$ $=$ $43$ podemos encontrar una permutación que mueva exactamente esos $n$ elementos de ese subconjunto concreto. Además, podemos encontrar un ciclo de permutación que mueve a los $n$ elementos, y tal ciclo de permutación constituye un subgrupo cíclico de orden $n$ . La cuestión es que para cada $n$ $\in$ $\Bbb N$ hay un elemento en nuestro subgrupo de $S_T$ que es de orden $n$ . La infinidad de $\Bbb N$ da el infinito de nuestro grupo construido.

Answer 4

Me pregunto cómo es que Grupos de monstruos de Tarski aún no se han mencionado: son grupos infinitos en los que todos los subgrupos no triviales generados finitamente son cíclicos de orden algún primo fijo $\,p\,$ . Estos son ejemplos de grupos simples infinitos generados finitamente.

Answer 5

Los grupos de Burnside, tal y como se comentan en la Wikipedia página .