Ejemplos de grupos infinitos tales que todos sus respectivos elementos son de orden finito.

Question

Necesito ejemplos de grupos infinitos tales que todos sus elementos respectivos sean de orden finito.

Answer 1

Aquí hay una. Deja que $(\mathbb{Q},+)$ denotan los grupos de números racionales bajo adición, y consideran su subgrupo $(\mathbb{Z},+)$ de números enteros. Entonces cualquier elemento del grupo $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ tiene elementos de la forma $\frac{p}{q} + \mathbb{Z}$ que es de orden at-most $q$ . Por lo tanto, es de orden finito.

• Grupo de todas las raíces de la unidad en $\mathbb{C}^{\times}.$

Aquí hay un enlace de MathOverflow que puede ser útil.

• https://mathoverflow.net/questions/57493/is-there-an-infinite-group-whose-elements-all-have-finite-order

Answer 2

$G=(\Bbb Z/2\Bbb Z)^\omega$ o incluso $H^\omega$ para cualquier grupo finito $H$ .

Dejemos que $H$ sea un grupo finito, y sea $G=H^\omega$ el conjunto de secuencias infinitas de elementos de $H$ con la multiplicación definida por componentes. Si el orden de $H$ es $n$ entonces claramente $g^n=1_G$ para cada $g\in G$ .

Añadido: Para un ejemplo más interesante, veamos $G_n=\Bbb Z/n\Bbb Z$ para $n\in\Bbb Z^+$ y que $G$ sea la suma directa de los $G_n$ 's. En otras palabras, $G$ es el conjunto de secuencias $$\langle m_k:k\in\Bbb Z^+\rangle\in\prod_{k\in\Bbb Z^+}G_k$$ tal que sólo un número finito de $m_k$ son distintos de cero. Entonces $G$ es infinito, todos sus elementos tienen orden finito, y para cada $n\in\Bbb Z^+$ $G$ tiene un elemento de orden $n$ .

Answer 3

Dejemos que $\mathcal{P}(X)$ sea el conjunto de potencias de un conjunto infinito $X$ . Considere el funcionamiento de diferencia simétrica , $\triangle$ , en $\mathcal{P}(X)$ .

Entonces, para todos los $A,B \in \mathcal{P}(X)$ tenemos que $A\triangle B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)$ . Se puede ver que $(\mathcal{P}(X),\triangle)$ es un grupo conmutativo con cada elemento de orden dos. Por lo tanto, cada elemento tiene un orden finito pero el grupo es infinito.

Answer 4

$\mathbf Q/\mathbf Z$ y también el grupo $G^{\mathbb N}$ de secuencias infinitas de elementos en un grupo finito cualquiera $G$ (todos cuyos elementos tienen un orden que divide a $\#G$ ).

Answer 5

¿Qué tal el grupo de polinomios con coeficientes de los enteros mod $2$ , bajo la adición. Cada elemento tiene orden $2$ , excepto $0$ , que es la identidad por lo que tiene orden 1.

Se puede hacer lo mismo con los polinomios con coeficientes en cualquier grupo finito. La suma de estos polinomios es casi la misma, sólo que ahora los coeficientes se calculan utilizando el producto de grupo de los coeficientes originales. Cada polinomio en esta construcción tiene que tener un orden finito por la finitud del grupo.

De hecho puedes hacer esta construcción pero tomando los coeficientes para estar en cualquier grupo que responda a tu pregunta y obtienes otro grupo que responde a tu pregunta.