Primera y segunda formas fundamentales

Question

Estoy escribiendo notas sobre el 3+1 formalismo en la teoría general de la relatividad, para mí. Inevitablemente me llegó a través de las nociones de primera y segunda formas fundamentales. Matemáticamente, es claro cómo estos objetos se definen: ($M$ es un 4-dim colector con métrica $g$, $\Sigma$ una hipersuperficie de $M$)

La primera forma fundamental es la inducida por la métrica en la $\Sigma$, dado también por el retroceso del espacio-tiempo métricas $g$.

La segunda forma fundamental $K: T_{p}(\Sigma)\times T_{p}(\Sigma)\rightarrow \mathbb{R}$ es dada a través de la Weingarten mapa de $\chi$, es decir,$(u,v)\mapsto -u\cdot \chi(v)$.

Ahora, estoy teniendo dificultades con la subyacente físico intuición para estos dos objetos (especialmente la segunda forma fundamental). Hay una manera para que un físico de "ver" de una manera? ¿Qué tipo de objetos son estas formas exactamente?

Answer 1

Para agregar un poco de pelusa para twistor59 la respuesta, vamos a tomar una vista de ojo de pájaro de la geometría de Riemann.

La métrica de Riemann nos da la noción de longitudes y ángulos, así como el concepto de líneas rectas (geodesics).

Cualquier submanifold hereda estas nociones del espacio ambiental, se hizo explícita a través de la primera forma fundamental, lo que hace que la submanifold es un colector de Riemann en su propio derecho.

Como tal, viene con la noción de curvatura intrínseca, por ejemplo, de manifiesto en la suma de los ángulos de un triagle formado por líneas rectas, que es independiente de la integración en cualquier espacio más grande.

Sin embargo, hay una segunda noción de curvatura, la extrínseca, que hace uso de esta incorporación, por ejemplo a través de vectores normales, osculating círculos de aproximación o por paraboloides. La segunda forma fundamental es de este tipo.

Estas diferentes nociones de curvatura son, por supuesto, relacionados con: Se puede obtener el valor intrínseco de curvatue de un submanifold $N\hookrightarrow M$ (medido por la curvatura de Riemann tensor $R_N$) de su curvatura extrínseca (medido por la segunda forma fundamental $\mathrm{II}$) y la curvatura intrínseca $R_M$ del espacio ambiental a través de $$ \langle R_N(u,v), w,z\rangle = \langle R_M(u,v), w,z\rangle+\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,z),\mathrm I\!\mathrm I(v,w)\rangle-\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,w),\mathrm I\!\mathrm I(v,z)\rangle $$ (La fórmula fue tomada de este artículo de la Wikipedia).

Answer 2

Para la primera forma fundamental - si tenemos dos vectores tangentes a $\Sigma$, e $\Sigma$ está incrustado en $M$, e $M$ tiene una métrica, sólo tiene que utilizar la incrustación de considerar los vectores como la vida tangente a $M$ y el uso de $M$'s métrica para calcular su producto interior.

Para la segunda forma fundamental, básicamente, si usted se imagina una superficie de dos $\Sigma$ incrustado en $\mathbb{R}^3$, y que usted se imagine las normales como las flechas ortogonal a $\Sigma$ salen como las espinas de un erizo. Entonces, si la superficie es ligeramente curvos, las normales no cambia mucho cuando se pasa de un punto de $x$ $\Sigma$ a otro punto de $x'$ $\Sigma$ infinitesimalmente separado de $x$ por un vector tangente a $\Sigma$. Por el contrario si la inclusión es muy curvadas, las normales cambiar mucho al hacer este pequeño desplazamiento.

El Weingarten mapa, su $\chi$, es sólo el mapa $$u\rightarrow \nabla_un $$ where $n$ is the normal to $\Sigma$ and $u$ is tangent to $\Sigma$, and this encodes how much the normals are changing when you nudge by $u$ along $\Sigma$.

La 2ª FF, o "curvatura extrínseca" es sólo otra manera de representar la información en la Weingarten mapa. Explícitamente, es una forma bilineal, el cual se asigna un par de vectores $u,v$ tangente a $\Sigma$ a un número $-u.\chi(v)$ ($\chi(v)$ también es tangente a $\Sigma$, por lo que en este sentido).

Por CIERTO, ya que estás estudiando 3+1, esta referencia (que entró en uno de Alex Nelson puestos), es muy informativo y dirige usted a través del campo de planteamientos contradictorios.