Cómo probar que esta secuencia definida recursivamente converge en $e$ ?

Question

Deje que $a_1=0,a_2=1,$ y $a_{n+2}= \dfrac {(n+2) a_{n+1}-a_n}{n+1}$ . Demuestra que $ \lim_ {n \to \infty }a_n=e$ .

Sé que $ \lim_ {n \to\infty } \left (1+ \frac1 {2!}+ \frac1 {3!}+...+ \frac1 {n!} \right )=e$ y $a_n = \dfrac {(n) a_{n-1}-a_{n-2}}{n-1}$ de $a_{n+2}= \dfrac {(n+2) a_{n+1}-a_n}{n+1}$ . Sin embargo, no sé cómo unirlos.

Answer 1

$$a_{n+2}-a_{n+1}= \dfrac {1}{n+1}(a_{n+1}-a_{n})= \cdots = \dfrac {1}{(n+1)!}(a_{2}-a_{1})= \dfrac {1}{(n+1)!}$$ así que $$a_{n}=1+ \dfrac {1}{1!}+ \dfrac {1}{2!}+ \dfrac {1}{3!}+ \cdots + \dfrac {1}{(n-1)!}(n \ge 2)$$