Infinita suma de Funciones de Bessel

Question

Me encontré con la siguiente suma en mi trabajo que implica la infinita suma de un producto de funciones de Bessel. ¿Alguien tiene alguna idea de cómo expresar esto en una forma más simple? 'a' y 'b' son números positivos, y también estoy interesado en el caso en que a=b. Gracias!

$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}J_{2n}(a)J_{2n}(b)$$

Answer 1

Neumann además es el teorema dado por \begin{align} J_{0}\left(\sqrt{x^{2} + y^{2} - 2 x y \cos\phi}\ \right) = J_{0}(x) J_{0}(y) + 2 \sum_{n=1}^{\infty} J_{n}(x) J_{n}(y) \cos(n\phi). \end{align} Deje $\phi = \pi/2$ obtener \begin{align} J_{0}\left(\sqrt{x^{2} + y^{2}}\ \right) = J_{0}(x) J_{0}(y) + 2 \sum_{n=1}^{\infty} J_{n}(x) J_{n}(y) \cos\left(\frac{n\pi}{2}\right) \end{align} lo que conduce a \begin{align} \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} J_{2n}(x) J_{2n}(y) = \frac{1}{2} \left[ J_{0}\left(\sqrt{x^{2} + y^{2}}\ \right) - J_{0}(x) J_{0}(y) \right]. \end{align}