Conozco dos aplicaciones de los espacios vectoriales sobre $\mathbb Q$ a problemas planteados por personas no interesadas específicamente en espacios vectoriales sobre $\mathbb Q$ :
¿Qué otras hay?
Una buena aplicación es demostrar el siguiente teorema:
Un rectángulo R con longitudes de lado $1$ y $x$ , donde $x$ es irracional, no puede ser "embaldosado" por un número finito de cuadrados (de modo que los cuadrados tengan interiores disjuntos y cubran todo R ).
La prueba se puede encontrar aquí: http://kam.mff.cuni.cz/~matousek/stml-53-matousek-1.pdf como la miniatura 12 (pág. 39).
Suponiendo que $\mathsf{CH}$ se puede demostrar que $\Bbb R$ es la unión de un número contable de subconjuntos métricamente rígidos, considerándolo como un espacio vectorial sobre $\Bbb Q$ . (Un conjunto $D$ en un espacio métrico $\langle X,d\rangle$ es métricamente rígido si no hay dos subconjuntos distintos de dos puntos de $D$ son isométricos). Esto se menciona en Brian M. Scott y Ralph Jones, Rigidez métrica en $E^n$ Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. $53$ , $1975$ , $219{-}222$ aunque el propio documento contiene una prueba diferente de un resultado más general.
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Básicamente, toda la teoría algebraica clásica de los números, para empezar, que se desarrolló para responder a preguntas sobre los viejos enteros.