Podría ayudar, por favor. Necesito la información sobre el ultrafilters, es decir, alguna idea de cómo uno puede ver que existen, y una prueba de que el hecho de que para cualquier ultrafilter cada secuencia en un topológicos compactos espacio tiene un límite. Espero que estos hechos básicos pueden ser recogidos en algún lugar en una forma popular, agradecería una referencia.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Espero que ambos tenemos en mente la misma noción de convergencia de una secuencia a lo largo de un ultrafilter en $\mathbb N$.
Yo sé que usted pidió una referencia. En lugar de dar una referencia, he copiado una parte de mi LaTeXed notas que hice para mí mismo a veces se hace en su lugar. En estas notas, yo trabajo con funciones y ultrafilters en conjunto arbitrario. (Para $M=\mathbb N$ obtendrá de secuencias.) Escribí estas notas, básicamente, por la razón de que me encontrado resultados útiles, yo no conozco a ninguna de referencia en ese momento, y quería tener la prueba para mí en algún lugar. Más tarde descubrí libro [HS], donde se muestra esto, y lo menciono en estas notas. Pero no creo que este libro iba a ser bueno para usted si esta es la primera vez que se encontró con esta noción. (En mi opinión, si alguien tiene la madurez necesaria para leer este libro, él debería ser capaz de averiguar la prueba de que el resultado sobre ultrafilters y espacios compactos por sí mismo.) Añadido posterior: En el mientras tanto, he encontrado un par más referencias y he agregado a este post.
Para otras referencias: Algunos datos sobre el límite a lo largo de un ultrafilter se recogen en el papel de M. A. Alekseev, L. Yu. Glebskii, E. I. Gordon. En las aproximaciones de los grupos, el grupo de acciones y álgebras de Hopf. Usted también puede encontrar algo en el libro Komjath, Totik: Problemas y Teoremas Clásicos de la Teoría de conjuntos, pero que sólo funcionan con el real secuencias. La prueba para el caso de bienes secuencias también se da en planetmath. Si el caso de los delimitada real secuencias es suficiente para usted, usted puede encontrar muchos recursos.
Usted puede encontrar muchas referencias de la existencia de la libre ultrafilters. E. g. ya se ha mencionado libros por Komjath y Totik, o Janich. Si usted no tiene acceso a estos libros, usted podría tratar de Google para filtrar ultrafilter zorn.
Fragmento de mis notas (esto se vincula a la versión que está aún sin terminar):
El siguiente resultado se puede encontrar en [HS,Teorema de 3.48]. [HS,Teorema de 3.52] muestra que esta es una caracterización de espacios compactos. Referencias adicionales: Esta entrada del blog y [D, Teorema 4.3.5], [T, p.64, Reclamación 14.1], [F, 2A3Se(i)].
La proposición: Vamos a $\mathcal F$ ser un ultrafilter en $M$, $X$ ser un espacio compacto y $f:M\to X$ ser un mapa. A continuación, $\mathcal F-\lim f$ existe.
Recordemos que $\mathcal F-\lim f=x$ significa que $f^{-1}(U)\in\mathcal F$ mantiene para cada uno de los vecindarios $U$$x$. Esto es equivalente a la afirmación de que la filterbase $f[\mathcal F]$ converge a$x$$X$.
Podemos dar una prueba directa y también la transformación a un resultado conocido de la topología general. (Es decir, el resultado de que en un espacio compacto cada ultrafilter tiene un límite - en el habitual sentido topológico, ver aquí o en el libro sugerido por Theo.)
Prueba 1. Supongamos que no hay punto de $x\in X$ $\mathcal F$- límite de $f$. Por lo tanto para cada $x$ hay un barrio $U_x$ tal que $f^{-1}[U_x]\notin\mathcal F$. Por compacidad, hay un finito subcover de $\{U_x; x\in X\}$.
Nos deja denotar los conjuntos de este subcover por $U_1,\dots,U_n$. Para cada una de las $i=1,\dots,n$ tenemos $f^{-1}[{U_i}]\notin\mathcal F$. Desde $\mathcal F$ es ultrafilter, esto es equivalente a $f^{-1}[{X\setminus U_i}]\in\mathcal F$.
Ahora $\bigcap_{i=1}^n (X\setminus U_i)=\emptyset$, ya que el $U_1,\dots,U_n$ es una cubierta de la misma e implica la $\bigcap_{i=1}^n f^{-1}[{X\setminus U_i}]= f^{-1}[{\bigcap_{i=1}^n {X\setminus U_i}}]=\emptyset$. En consecuencia,$\emptyset\in\mathcal F$, una contradicción.
Prueba 2. Es fácil observar que el filtro dada por la filterbase $f[\mathcal F]$ es un ultrafilter en $X$. De hecho, si $A\subseteq X$,$f^{-1}[A] \cup f^{-1}[X\setminus A]=M$, por lo tanto, uno de los conjuntos de $f^{-1}[A]$, $f^{-1}[X\setminus A]$ pertenece a $\mathcal F$ y por lo tanto uno de los conjuntos $A$, $X\setminus A$ es en $f[\mathcal F]$. Desde $X$ es compacto y $f[\mathcal F]$ es un ultrafilter, hay un límite de $x$$f[\mathcal F]$$X$. A continuación,$x=\mathcal F-\lim f$.
- [D] Jacques Dixmier. Topología General. Springer-Verlag, Nueva York, 1984. Licenciatura Textos en Matemáticas
- [HS] Hindman, Strauss: el Álgebra en la Piedra-Čech compactification, Walter de Gruyter, Berlín-Nueva York, 1998.
- [F] D. H. Fremlin. Teoría de la medida, Volumen 2: Amplia Fundaciones. Torres Fremlin, Essex, 2001.
- [T] Stevo Todorcevic. Temas en la Topología. Springer-Verlag, Berlín{Heidelberg, 1997. Notas de la conferencia en Matemáticas 1652.
Esta cuestión ya apareció dos veces en los comentarios, sería bueno agregar esta información a la respuesta. (Para algunas personas esto puede ser útil, dependiendo de sus antecedentes. O se puede trabajar de otra manera - si ya sabes algo acerca de $\mathcal F$-límites, esto puede ayudar a usted cuando usted aprender acerca de la Piedra-Čech compactification.)
El $\mathcal F$-límite está relacionado con la Piedra-Čech compactification de una manera muy natural. Vamos a trabajar con la Piedra-Čech compactification $\beta M$ $M$ dotado de la topología discreta. Una de las posibilidades de cómo construir $\beta M$ es definir $\beta M$ a ser el conjunto de todos los ultrafilters en $M$ y dotarlo de la topología generada por los conjuntos de $A^*=\{\mathcal F\in\beta M; A\in\mathcal F\}$ donde $A\subseteq M$. Se puede demostrar que el mapa que se asigna a un punto de $m\in M$ el correspondiente director de ultrafilter es una incrustación de una que esta topológica del espacio cumple con todas las condiciones de la definición de Piedra-Čech compactification.
Ahora para cualquier función de $f:M \to X$ donde $X$ es compacto hemos extensión única para $\overline f: \beta M \to X$. El $\mathcal F$-límites pueden ser entendidos como los valores de esta extensión: Para cualquier ultrafilter $\mathcal F\in\beta M$ hemos $$\overline f(\mathcal F)=\mathcal F-\lim f.$$
Permítanme añadir algo sobre otra cosa que se abordó en los comentarios de abajo. El $\mathcal F$-límite definido en la manera que se describe en este post se generaliza tanto la noción de límite de una red y el límite de un filtro en la forma en que se define generalmente en topología general. (Este es Bourbaki del enfoque que definir esta noción general de primero y diversas nociones de límites son casos especiales. No pretendo que este enfoque sería bueno para los estudiantes que ver las redes o de los filtros para la primera vez. Pero para alguien que ya está familiarizado con ellos, podría ser interesante saber acerca de un enfoque unificador.)
Es decir, si $X$ es un espacio topológico si tomamos el mapa de identidad $id_X \colon X\to X$, $\mathcal F-\lim id_X$ es la misma cosa como la misma cosa como la definición habitual de un límite de un filtro. Para la red en un conjunto dirigido $(D,\le)$ que puede tomar la sección de filtro generado por el conjunto de $D_a=\{d\in D; d\ge a\}$ donde $a\in D$.
Más detalles acerca de esto puede ser encontrado de nuevo en mis notas aquí.
