¿Existe el "dual arista-cara" de un poliedro, y es el "dual arista-cara" de un cubo un dodecaedro rómbico?

Question

El dual de un poliedro es un poliedro en el que los vértices de uno corresponden a las caras del otro, y viceversa. ¿Existe siempre una correspondencia similar entre un par de poliedros en la que las aristas de uno corresponden a las caras del otro y, en caso afirmativo, tiene esa relación un nombre? (Yo la llamo el doble cara-borde de un poliedro por ahora).

Además, ¿existe esta relación entre el cubo y el dodecaedro rómbico? Es mi mejor conjetura: los cubos tienen 12 aristas y todos los dodecaedros tienen 12 caras, y el dodecaedro rómbico es cara-transitivo y tesela $\mathbb{R}^3$ . Si este es el caso, entonces el doble cara-borde que busco obviamente no es simétrica, ya que los dodecaedros tienen 24 aristas mientras que los cubos sólo tienen 6 caras.

He aquí algunos antecedentes de lo que estoy buscando:

Una forma de ampliar un mosaico hexagonal de $\mathbb{R}^2$ en $\mathbb{R}^3$ es extruir el hexágono a lo largo de la nueva dimensión, produciendo una teselación de $\mathbb{R}^3$ en prismas hexagonales. Estoy buscando una inclinación diferente, una que esté relacionada con la proyección isométrica de un cubo utilizando la observación de que un cubo se proyecta en un hexágono. Los seis hexágonos adyacentes están conectados por seis de las aristas proyectadas del cubo. Si se considera que los cubos también teselan $\mathbb{R}^3$ , esto deja seis bordes más; tres "por encima" y tres "por debajo". Hay seis celdas más conectadas simétricamente a ésta. No es muy difícil imaginar que se trata de un análogo tridimensional de una rejilla hexagonal.

El problema es que me resulta incómodo que cada conexión sea entre aristas, no entre caras, y también que cada arista toque otras cuatro celdas, pero sólo considero una como "adyacente". Me parece que el embaldosado que obtengo del esquema anterior es deseable; si estás mirando un plano de celdas tal que ves una rejilla hexagonal, cada celda tiene seis vecinas en ese plano, así como tres por encima (centradas en el centro de la celda) y tres por debajo (también centradas). Estoy tratando de encontrar un poliedro que tesela $\mathbb{R}^3$ que "parece" un hexágono en un plano 2D, pero en el que puedo considerar que las celdas adyacentes son poliedros que comparten caras, y en el que cada plano "apilado" sobre otro está regularmente trasladado (de la misma manera que el esquema anterior).

No sé si lo que quiero es un dodecaedro rómbico y si la descripción anterior es rigurosa. Esta es la única ayuda visual que he encontrado (de un dodecaedro rómbico), pero me cuesta verlo como otra cosa que cubos en mosaico:

Answer 1

He aquí una versión ampliada de mi comentario.

En rectificado de un poliedro es un nuevo poliedro cuyos vértices se encuentran en los puntos medios de las aristas del poliedro original. Si se toma la doble de esto, se obtiene un poliedro cuyo caras corresponden a las aristas del poliedro original. Por ejemplo, la rectificación de un cubo da como resultado un cuboctaedro cuyo dual es, en efecto, el dodecaedro rómbico . Puedes ver el cubo en el dodecaedro rómbico dibujando las diagonales cortas en todas sus caras. Es transitivo de caras porque sus caras corresponden a las aristas del cubo, pero no es transitivo de vértices porque tiene dos tipos de vértices: los que corresponden a los vértices del cubo y los que corresponden a sus caras.

Estoy bastante seguro de que este es el concepto que estás buscando, aunque yo no lo llamaría "dual arista-cara" porque normalmente se espera que la dualidad sea (cercana a) una involución. Fíjate que es lo mismo para un poliedro y su dual, lo que esperamos porque sus aristas se corresponden, y lo que es cierto porque la forma rectificada de ambos es la misma.

Para el resto de los sólidos platónicos:

• De un tetraedro se obtiene un cubo, a través de un octaedro.
• A partir de un octaedro, se obtiene de nuevo un dodecaedro rómbico, a través del cuboctaedro.
• De un icosaedro o del dodecaedro, se obtiene un triacontaedro rómbico a través del icosidodecaedro .

No puedo comentar el resto de tu pregunta, ya que no he podido seguirte hasta el "análogo 3D de una cuadrícula hexagonal". Sin embargo, puedo señalar que el dodecaedro rómbico es la forma del Célula de Voronoi de un red cúbica centrada en la cara que tiene simetría hexagonal en una proyección isométrica así que tal vez tengas razón.

Answer 2

He aquí algunas reflexiones formuladas en términos de teoría de grafos, y restringidas a poliedros convexos tridimensionales para poder utilizar el Teorema de Steinitz (Un grafo es tripolitopal si y sólo si es plano y está conectado por 3).

Hay muchas formas de tomar una incrustación plana (grafo plano) y "transformarla" en otro grafo plano en el que el nuevo grafo plano "hereda" buenas propiedades del original. La más conocida es el dual geométrico, en el que las caras del grafo original se convierten en los vértices del nuevo grafo. Otro grafo muy bonito es el grafo medial. Hay un vértice por cada arista del original y dos de estos vértices están unidos por una arista en el nuevo grafo si las aristas que representan se encuentran en un vértice y comparten la misma cara (para el grafo lineal esta última condición no se tiene en cuenta). El grafo medial de un grafo 3-politópico es también 3-politópico pero además es 4-valente. Además, los grafos duales tienen el mismo grafo medio.

Hay muchas otras formas de transformar grafos planos de 3 conexiones en nuevos grafos planos relacionados. Una interesante que quizás sea de interés para la pregunta original es "sustituir" cada arista del grafo original por un hexágono. Para la incrustación en el plano fijo contornea cada cara (incluyendo la cara infinita) dentro de la cara (y cerca de la cara original) con un polígono con el mismo número de lados. Ahora une cada vértice de estos contornos con el vértice más cercano del grafo original, y borra las aristas del grafo original. Algunas observaciones adicionales sobre esto están aquí: http://www.york.cuny.edu/~malk/geometricstructures/2011-session7-TC.html