El uso de la inducción en una secuencia

Question

Tengo un problema cuando me pide que use inducción para demostrar que la secuencia se define como $x_1=1$, $x_{n+1}=\frac{3x_n+4}{4}$ el límite superior es $<4$. Yo estaba pensando de un modo siguiente. Suponga que para algunos $n+1$, $\frac{3x_n+4}{4} \geq 4$. A continuación, llegamos $x_n \geq 4$. Repitiendo el proceso hasta que llegamos a $x_1$, obtenemos $x_1 \geq 4$, pero fue definido para ser igual a uno, por lo que tenemos una contradicción, por lo tanto el obligado es, de hecho,$<4$. Sin embargo, no creo que esta "cuenta" como inducción-podría usted por favor, muéstrame inductivo manera de abordar este problema? Muchas gracias!

Edit: me refiero a los siguientes: caso base -- cuando n=1, obtenemos $\frac{7}{4}$, que es inferior a 4. Ahora vamos a demostrar que cuando esto tiene para $x_n$, para $x_{n+1}$. $x_{n+1} = \frac{3x_n+4}{4} = 1 + \frac{3}{4} x_n$. Pero sabemos $x_n < 4$, por lo que la expresión debe ser menor que 1+3=4. Es este un correcto enfoque inductivo?

Answer 1

Lo más sencillo es simplemente ejecutar el "problema de la otra manera" - se puede demostrar que si $x_n < 4$,$x_{n+1} < 4$? Una vez que usted tiene que, la inducción te permitirá ir del uno al infinito'; ya que la afirmación es verdadera para $x_1$, y como ya has demostrado que si es cierto para $x_n$ entonces es verdadero para $x_{n+1}$, entonces usted estará permitido a la conclusión de que la inducción por que es verdadera para todos los números naturales $n$.

Como para el llamado "inducción paso' - mostrar que si la desigualdad se cumple para $x_n$, es cierto para el $x_{n+1}$ - usted debería ser capaz de hacerlo por sí mismo, usando sólo lo que usted sabe acerca de las desigualdades (de manera más específica sugerencia: si $a < b$,$(a+c) < (b+c)$; además, si $c > 0$,$a\times c < b\times c$. Estos deben ser todo lo que usted necesita.)

Edit: Sí, el enfoque que se ofrecen en el apéndice es exactamente lo que buscas! Muy bien hecho.

Answer 2

Suena como usted, han demostrado la implicación $$ x_{n+1}=\frac{3x_{n+1}+4}{4}\ge 4\Rightarrow x_n\ge4. $$

Si ustedes lo han demostrado, entonces, que debería ser suficiente (junto con la prueba inicial con $n=1$). La razón es que esta implicación es el contrapositivo de la costumbre de inducción paso. Normalmente, en una prueba por inducción mostramos $P(n)\Rightarrow P(n+1)$ para algunos declaración de $P(n)$ definida para todos los números naturales $n$. Esperemos que recordar que probar que P$\Rightarrow$ Q es equivalente a probar que 'no-P' $\Rightarrow$ 'no-P'. Por lo tanto es de roca sólida lógica para hacer el paso inductivo mostrando 'no-$P(n+1)$' $\Rightarrow$ 'no-$P(n)$'.

Somos libres para probar el paso inductivo cualquiera que sea la forma que consideren conveniente. Es todavía inducción!

Para abordar la segunda cuestión. Tal vez usted realmente quería demostrar la implicación $$ x_n<4\Rightarrow x_{n+1}=\frac{3x_n+4}{4}<4. $$ Estoy bastante seguro de que si usted logró demostrar la afirmación anterior, entonces usted puede hacer esto también. Una de estas implicaciones se da el paso inductivo. Escoge la que prefieras.

Entonces mi interior como una molestia maestro quiere tener una palabra con usted, también. La afirmación parece ser demostrar que para todos los enteros positivos $n$ tenemos la desigualdad $x_n<4$. Es un error losely leer esta como diciendo: `la secuencia de $x_n$ definido... tiene un límite superior $<4$'. Si usted dice que una secuencia (o un conjunto) de los números tiene un límite superior $<4$, lo que significa que existe un número $M<4$ tal que $M$ es un límite superior para la secuencia (o conjunto), es decir, que la desigualdad de $x_n\le M$ sería cierto para todos los $n$. En este caso me atrevo a decir que sería difícil producir una $M$. Para crédito extra que te dan el ejercicio muestra que, aunque esta secuencia ha $4$ como límite superior, no tiene límites superior $<4$ :-)