Una pregunta sobre el cálculo de probabilidades para el paseo aleatorio

Question

Actualmente estoy trabajando en un proyecto de bachillerato que gira en torno al "Problema del precipicio" tomado de "Fifty Challenging Problems in Probability with Solutions" de Frederick Mosteller.

El problema es que, desde su posición, un paso hacia el acantilado enviaría al borracho por el puente. Da pasos al azar, ya sea hacia el acantilado o alejándose de él. En cualquier paso, su probabilidad de dar un paso de alejamiento es $\frac{2}{3}$ de un paso hacia el acantilado $\frac{1}{3}$ . ¿Qué posibilidades tiene de escapar del acantilado?

Aunque el libro proporcionaba una solución para la probabilidad eventual de caída mediante el uso de ecuaciones recursivas, he decidido ver si puedo derivar una expresión para calcular la probabilidad de que uno se caiga antes del paso N.

Lo que hice fue calcular el número de caminos que uno puede tomar de manera que alcance $X_n=1$ donde n=2m-1 para algún m (esto es porque a pasos pares la persona no caería por lo que sólo estoy considerando el caso con pasos Impares) sin alcanzar $X_j=1$ para cualquier $0\le j< 2m-1$ .

La siguiente expresión es lo que he calculado.

$P_n=1-\sum\limits_{i=0}^{m} p_{2i+1}\\ =1-\sum\limits_{i=0}^{m} \left({{2i+1}\choose{i+1}} - \sum\limits_{k=1}^{i}{{2k}\choose{k}}\right)\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{i+1}\left(\frac{2}{3}\right)^{i}\right)$

(En realidad cometí un error aquí ya que consideré 2m+1 en lugar de 2m-1, lo que dejó el signo de la suma con $\sum\limits_{k=1}^{i}{{2k}\choose{k}}$ indefinido cuando i=0)

Donde $p_2i+1=$ la probabilidad de que la trayectoria toque 1 en $n=2i+1$ sin tocar $1$ antes del paso.

La primera expresión binomial corresponde a la elección de n+1 pasos hacia el acantilado de entre los 2n+1 pasos. La segunda expresión binómica consiste en restar los caminos que provienen de los 1 anteriores (para garantizar que el camino no haya tocado el 1 antes de $n=2i+1$ .)

Sin embargo, al graficar esto en Excel encontré que la probabilidad no converge a $\frac{1}{2}$ como n->infinito, que es la respuesta que el libro obtuvo mediante relaciones recursivas.

He revisado mi argumento pero no sé qué he hecho mal (si he contado de más o de menos).

¿Alguien puede ayudar?

Answer 1

Intentaré un enfoque ligeramente diferente para cada $n>0$ , hallar la probabilidad $P_n$ que se cae exactamente en el paso $n$ . Como has notado, $P_{2k}=0$ ya que un número par de pasos sólo puede terminar en que se haya alejado un número par de puestos de su posición inicial; por lo tanto, o está a salvo, o se cayó un turno antes.

Una observación útil aquí es que si se consideran los movimientos a la derecha como paréntesis abiertos, y los movimientos a la izquierda como paréntesis cerrados, y se organizan en orden a medida que él toma el movimiento respectivo, entonces una secuencia de movimientos que terminan en él cayendo en el turno $n$ debe parecer una disposición "adecuada" (o correctamente emparejada) de paréntesis, seguida de un paréntesis cerrado adicional. Es decir, debe volver a su ubicación original eventualmente sin haberla sobrepasado, y luego finalmente sobrepasarla (verifique esto usted mismo si no está claro). Así, para $n=2k+1$ el número de formas en que puede caer en el turno $n$ es $C_k$ El $k^\text{th}$ Número catalán que cuenta el número de formas de coincidir correctamente $k$ pares de paréntesis. Cada uno de estos caminos a la caída tiene igual probabilidad, $ \left(\dfrac{1}{3}\right)^{k+1} \left(\dfrac{2}{3}\right)^k $ . Además, como tenemos que $C_k = \frac{1}{k+1}{2k \choose k}$ entonces
$$ P_{2k+1} = \frac{1}{k+1}{2k \choose k} \frac{2^k}{3^{2k+1}} ~~. $$ Por lo tanto, la probabilidad de que después del turno $n=2k+1$ El hombre aún no ha caído, es $$ 1 - \sum_{\ell=0}^k P_{2\ell+1} ~~. $$ W|A no se puede encontrar una forma cerrada para la suma, pero sólo queremos proceder directamente al límite, y ver cuál es la probabilidad $P$ es que sobrevive indefinidamente. Así que, alistando ce o utilizando la función generadora como se detalla en el comentario de Brian, $$ P = 1 - \sum_{\ell=0}^\infty P_{2\ell+1} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} ~~. $$ Es natural que sobreviva aproximadamente la mitad de las veces; (creo que) hay una biyección entre aquellas cadenas infinitas de paréntesis (correctamente colocados) para las que no hay un corte finito equilibrado, y las que en algún momento lo están.

Answer 2

Trabajé en esto hace un tiempo, y creo que se puede generalizar a partir de la técnica anterior para mostrar que si la prob. de avanzar hacia el precipicio es p (con p<.5), la prob. de caer en algún lugar del paseo inf. es p/(1-p). En el caso base descrito anteriormente el caminante comienza a 1 paso de caer a la muerte. Con la inducción se demuestra además que si la distancia inicial del acantilado es n, la probabilidad de caer al vacío en algún punto del recorrido inf. es [p/(1-p)]^n