¿Cuál es el orden correcto al multiplicar ambos lados de una ecuación por inversas de la matriz?

Question

Así que mi pregunta es vamos a decir debían resolver para $A$, y tienes algo como esto:

$$BAC=D$$ where B, C , and D are matrices. So the way I would solve this would be to multiply both sides by $B ^ {-1} $ and $C ^ {-1} $ (inverse of B and C), but since the order in the multiplication matters $A # = DB ^ {-1} C ^ {-1} $ would be different than say $A = B ^ {-1} DC ^ {-1} $. Mi pregunta (tal vez tonta o yo estoy solo faltaba algo) es ¿cómo saber de qué orden es la correcta?

Answer 1

Usted debe estar seguro multiplicar en el lado correcto. Para deshacerse del $B$ $BAC$, debe multiplicas a la izquierda por $B^{-1}$, por lo que debe hacer lo mismo en el lado derecho de la ecuación:

$$AC=B^{-1}BAC=B^{-1}D\;.$$

Para deshacerse del $C$ $AC$, debe multiplicas $AC$ a la derecha por $C^{-1}$, por lo que debe hacer lo mismo en el otro lado de la ecuación:

$$A=ACC^{-1}=B^{-1}DC^{-1}\;.$$

Answer 2

Tienes que multiplicar $C^{-1}$ forma la derecha (en ambos lados) y $B^{-1}$ de izquierda (en ambos lados). Cual que hacer primero no metter.

Answer 3

Para llegar desde $BAC = D$, usted izquierda-multiplique ambos lados por $B^{-1}$ y derecho-multiplique ambos lados por $C^{-1}$, que $B^{-1}BACC^{-1} = B^{-1}DC^{-1}$. Desde $B^{-1}B = I$ y $CC^{-1} = I$, esto simplifica a $A = B^{-1}DC^{-1}$.